Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 um operador linear cuja matriz na base canônica α é T α α = 3 0 1 0 1 m 0 2 1 .

a Determine a condição sobre m para que o operador T admita apenas um autovalor real.

b Considere m = 2 . Encontre os autovalores de T . E para cada autovalor λ encontre uma base para o autoespaço associado V λ .

Passo 1

a Os autovalores da matriz são calculados por:

3 - λ 0 1 0 1 - λ m 0 2 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ 2 - 2 m 3 - λ = 0

3 - λ 1 - λ 2 - 2 m = 0

3 - λ λ 2 - 2 λ + 1 - 2 m = 0

Nesse caso temos λ = 3 ou:

λ 2 - 2 λ + 1 - 2 m = 0

Δ = 4 - 4 1 - 2 m

Δ = 8 m

λ = 2 ± 8 m 2

λ = 1 ± 2 m

Para que tenhamos apenas λ = 3 como autovalor real, precisamos que m < 0 . Nesse caso os outros dois autovalores seriam complexos.

Passo 2

b Considerando m = 2 , podemos usar a fórmula obtida na letra a :

λ = 1 ± 4 = 3   o u - 1

Logo, λ = 3 ,   3   o u - 1 .

Encontrando a base para o autoespaço agora:

λ = 3 :

0 0 1 0 - 2 2 0 2 - 2 0 0 0 ⇒ z = 0 - 2 y + 2 z = 0 2 y - 2 z = 0 ⇒ V 3 = x , 0,0 = x 1,0 , 0

λ = - 1 :

4 0 1 0 2 2 0 2 2 0 0 0 ⇒ 4 x + z = 0 ⇒ x = - z 4 2 y + 2 z = 0 2 y + 2 z = 0 ⇒ y = - z ⇒ V - 1 = - z 4 , - z , z = z - 1 4 , - 1,1

Então, temos:

β V 3 = 1,0 , 0

β V - 1 = 1,4 , - 4

Resposta

a m < 0

b β V 3 = 1,0 , 0

β V - 1 = 1,4 , - 4

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4
Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )