Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja T : R 2 → R 2 uma reflexão em relação a uma reta. Sabendo-se que v = ( 1,2 ) é um autovetor associado ao autovalor 1, T ( x , y ) é dada por:

(a) T x , y = ( - 3 x + 4 y , 4 x + 3 y )

(b) T x , y = ( x , - y )

(c) T x , y = ( - 3 x 5 + 4 y 5 , 4 x 5 + 3 y 5 )

(d)   T x , y = ( x 5 + 2 y 5 , - 2 x 5 + y 5 )

Passo 1

Bom, se isso é uma reflexão em relação a uma reta, os autovetores associados ao autovalor 1 vão ser os múltiplos do vetor gerador dessa reta.

Vamos ver qual das opções vai dar a resposta ( 1,2 ) quando aplicamos esse mesmo vetor:

(a) T x , y = - 3 x + 4 y , 4 x + 3 y

T 1,2 = - 3 ∙ 1 + 4 ∙ 2 ,   4 ∙ 1 + 3 ∙ 2 = 5,10

(b) T x , y = ( x , - y )

T 1,2 = ( 1 , - 2 )

(c) T x , y = ( - 3 x 5 + 4 y 5 , 4 x 5 + 3 y 5 )

T x , y = - 3 ∙ 1 5 + 4 ∙ 2 5 , 4 ∙ 1 5 + 3 ∙ 2 5 = 1,2

Opa, essa deve ser nossa resposta, mas vamos conferir a letra d!

(d)   T x , y = ( x 5 + 2 y 5 , - 2 x 5 + y 5 )

T x , y = 1 5 + 2 ∙ 2 5 , - 2 ∙ 1 5 + 2 5 = 1,0

Resposta

c

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