Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

Ver Teoria

Enunciado

Seja R : R³ → R³ a transformação linear que é a reflexão com relação a uma reta r. Assuma que a matriz de R na base canônica é

R = - 3 / 5 - 4 / 5 0 - 4 / 5 3 / 5 0 0 0 - 1    .

(a) Determine os autovalores de R

(b) Determine um vetor u com a direção da reta r.

(c) Determine os autoespaços de R.

(d) R é diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize¹ R. Se sua resposta foi negativa, justifique.

(e) Determine explicitamente [R]-¹ . (Lembre que sempre é preciso justificar.)

Passo 1

Vamos lá, para determinarmos os autovalores, poderíamos usar aquela fórmula que já estamos craques, nesse caso faríamos:

R - λ I = 0

E assim por diante ...

Mas tem algo que pode simplificar a nossa vida. O enunciado nos diz que essa transformação linear é uma reflexão, ou seja, o os autovalores necessariamente serão λ 1 = 1 e λ 2 = - 1

Passo 2

Vamos ao item b!

Na verdade a nossa reta r, é o autovetor associado ao autovalor λ 1 = 1

Teremos:

- 3 5 - 1 - 4 / 5 0 - 4 / 5 3 5 - 1 0 0 0 - 1 - 1 x y z = 0 0 0

Resolvendo esse sistema, encontramos como resposta r = { ( 1 , - 2,0 ) } e podemos escolher u = ( 1 , - 2,0 )

Normalizando, temos:

v 1 = u = 1 5 ,   - 2 5 ,   0

Passo 3

Já temos o autovetor para o primeiro autovalor e para o segundo?

Vamos lá!

- 3 5 + 1 - 4 / 5 0 - 4 / 5 3 5 + 1 0 0 0 - 1 + 1 x y z = 0 0 0

Resolvendo esse sistema, encontraremos x=2y, em outras palavras, temos:

v 2 = 2,1 , 0

Normalizando, teremos:

v 2 = 2 5 , 1 5 , 0

Ainda associado ao autovalor λ 2 = - 1 , podemos pensar no autovetor v 3 = ( 0,0 , 1 ) que é ortogonal ao autovetor 2 5 , 1 5 , 0 , pois o produto interno entre eles é zero.

Passo 4

R com certeza é diagonalizável, inclusive já encontramos os seus autovalores e autovetores, basta agora “montarmos” as nossas matrizes D (autovalores), P e P - 1 (Autovetores). Nesse caso, P - 1 = P t pois essa base é ortonormal.

D = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 ,                   P = 1 5 2 5 0 - 2 5 1 5 0 0 0 1 ,               P - 1 = 1 5 - 2 5 0 2 5 1 5 0 0 0 1

Passo 5

Vamos ao último item...ufaaa

Agora, queremos encontrar o inverso de R. Sabemos que R é ortogonal, então podemos escrever:

R - 1 = R t = - 3 5 - 4 5 0 - 4 5 3 5 0 0 0 - 1

UÉ, DEU A MESMA MATRIZ?

SIM, ESSA MATRIZ É SIMÉTRICA!

Resposta

a)   λ 1 = 1 e λ 2 = - 1

b) v 1 = u = 1 5 ,   - 2 5 ,   0

c)   v 1 = 1 5 ,   - 2 5 ,   0 , v 2 = 2 5 , 1 5 , 0 ,   v 3 = ( 0,0 , 1 )

d) D = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 ,                   P = 1 5 2 5 0 - 2 5 1 5 0 0 0 1 ,               P - 1 = 1 5 - 2 5 0 2 5 1 5 0 0 0 1

e)     R - 1 = R t = - 3 5 - 4 5 0 - 4 5 3 5 0 0 0 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4
Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )