Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = 2,1 e triplica o comprimento do vetor v = 1,2 , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.

a   Calcular T 0,3

b   Qual a matriz do operador T na base 2,1 , 1,2 ?

Passo 1

a   Sabemos que a transformação T dobra o comprimento do vetor u = 2,1 sem alterar sua direção nem inverter seu sentido. Sendo assim, podemos dizer que 2,1 é autovetor associado ao autovalor 2 . Temos assim:

T u = T 2,1 = 4 , 2

Analogamente, temos que 1,2 é autovetor associado ao autovalor 3 . Temos então:

T v = T 1,2 = 3 , 6

Agora o que temos que fazer é escrevermos 0,3 em função de 2,1 e 1,2 e nos aproveitarmos da linearidade da transformação. Temos:

0,3 = a 2,1 + b 1,2

Logo:

2 a + b = 0 a + 2 b = 3       I I I

De I :

b = - 2 a

Substituindo em I I :

a + 2 - 2 a = 3

a - 4 a = 3

- 3 a = 3

a = - 1

b = 2

Portanto,

0,3 = - 2,1 + 2 1,2

Juntando todas essas informações, temos que:

T 0,3 = T - 2,1 + 2 1,2 = - T 2,1 + 2 T 1,2 = - 4,2 + 2 3 , 6 = 2,10

Passo 2

b   Chamamos a base β = 2,1 , 1,2 . Queremos então, T β . Para isso, basta escrevermos as imagens dos vetores da base β como uma C L da base β . Mas como essa é uma base de autovetores temos o seguinte:

T 2,1 = 4,2 = 2 ∙ 2,1 + 0 ∙ 1,2

T 1,2 = 3,6 = 0 ∙ 2,1 + 3 ∙ 1,2

Logo, nossa matriz fica:

T β = 2 0 0 3

Resposta

a   2,10

b   2 0 0 3

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