Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Suponha que λ é autovalor de A invertível e μ autovalor de B com mesmo autovetor v → .

Determine o autovalor associado ao autovetor v → de:

a   A 2

b   A - 1

c   A B

d   C = a A + b B   c o m   a , b ∈ R

Passo 1

A gente sabe que:

A v → = λ v →

Eu quero saber o autovalor de A 2 .

Multiplicando A dos dois lados:

A ∙ A v → = A λ v →

A 2 v → = λ   A v →

Acontece que A v → = λ v → , lá de cima. Substituindo ali no lado direito da equação:

A 2 v → = λ × λ v →

A 2 v → = λ 2 v →

Então a matriz A 2 pode ser substituída pelo escalar λ 2 na hora de multiplicar por v → , e por causa disso λ 2 é autovalor associado ao vetor v → da matriz A 2 .

Passo 2

A gente sabe que:

A v → = λ v → ( i )

Eu quero saber o autovalor de A - 1 . E agora? Vou chamá-lo de β .

Então β é tal que:

A - 1   v → = β v → ( i i )

Multiplicando a equação ( i ) por A - 1 dos dois lados, vai aparecer:

A - 1 ∙ A v → = A - 1 ∙ λ v →

Mas agente sabe que A ∙ A - 1 = I !!!

I v → = λ × A - 1 v →

Mas I v → = v → , da equação ( i i ) a gente já viu que A - 1 v → = β v → , aí é só substituir:

v → = λ β v →

Como todos sabemos que v → = v → (hehehehe), então:

1 = λ β

β = 1 λ

Então o autovalor da matriz A - 1 é 1 λ .

Passo 3

E o autovalor de A B , qual é?

É só fazer a mesma coisa que já fizemos antes.

Do enunciado, a gente sabe que:

A v → = λ v →     ( i )

B v → = μ v →

Multiplicando A nos dois lados dessa segunda equação, vai ficar:

A ∙ B v → = A ∙ μ v →

A B v → = μ A v →

Substituindo a igual dade eq. ( i ) :

A B v → = μ   λ v →

A B v → = μ λ v →

Então o autovalor da matriz A B é μ λ .

Passo 4

Agora C = a A + b B , e eu quero saber o autovalor de C .

Pega a primeira equação, A v → = λ v → .

Eu quero que apareça pelo menos esse a A , então eu vou multiplicar a dos 2 lados da equação:

a A v → = a λ v →

Vou fazer a mesma coisa com B .

Multiplicando a equação B v → = μ v → dos dois lados por b , fica assim:

b B v → = b μ v →

Agora eu pego essas duas equações e somo:

a A v → + b B v → = a λ v → + b μ v →

a A + b B v → = a λ + b μ v →

C v → = a λ + b μ v →

Ih!

Oia que legal.

O autovalor de C é a λ + b μ ! =D

Resposta

a   λ 2

b   1 λ

c   λ μ

d   a λ + b μ

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