Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Uma transformação linear T : R 3 → R 3 é tal que seus autovalores são 0, 1 e 2. Assinale a Dimensão do Núcleo de T :

(a) 0

(b) 3

(c) 1

(d)   2

Passo 1

Cada autovalor deve ser associado a um autoespaço diferente de dimensão maior que zero!

Por isso, esses três autovalores vão ter que ser associados a 3 autoespaços de dimensão igual a 1 pelo fato deles estarem contidos no R 3 :

dim ⁡ ( V λ = 0 ) + dim ⁡ ( V λ = 1 ) + dim ⁡ ( V λ = 2 ) = 3

e

dim ⁡ V λ = 0 > 0

dim ⁡ V λ = 1 > 0

dim ⁡ ( V λ = 2 ) > 0

Assim,

dim ⁡ V λ = 0 = 1

dim ⁡ V λ = 1 = 1

dim ⁡ ( V λ = 2 ) = 1

Como o núcleo é o autoespaço associado a λ = 0 , a dimensão dele vai ser 1.

Resposta

c

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