Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Se T : R n ⟶ R n é uma transformação linear tal que para quaisquer dois vetores u , v ∈ R n satisfaz:

T u , v = u , T v

Se w 1 e w 2 são autovetores associados respectivamente aos autovalores λ 1 e λ 2 com λ 1 ≠ λ 2 , então w 1 e w 2 são ortogonais.

a   Defina os conceitos que apareçam sublinhados na afirmação anterior.

b   Prove que dita afirmação é verdadeira.

Passo 1

Letra ( a )

Basta trocar U por R n . Depois faça uma definição para w 1 e λ 1 e outra para w 2 e λ 2 .

Basta trocar u , v por w 1 e w 2 respectivamente.

Passo 2

Letra ( b )

Vamos fazer o produto interno de acordo com o enunciado, só que com os dois autovetores dados.

Desenvolvendo o lado esquerdo:

T w 1 , w 2 = λ 1 w 1 ,   w 2 = λ 1 w 1 , w 2

Desenvolvendo o lado direito:

w 1 , T w 2 = w 1 , λ 2 w 2 = λ 2 w 1 , w 2

Passo 3

-

Igualando os dois lados:

λ 1 w 1 , w 2 = λ 2 w 1 , w 2 ⇒

λ 1 - λ 2 w 1 , w 2 = 0

Logo ou λ 1 = λ 2 ou w 1 , w 2 = 0 . Como sabemos por hipótese que λ 1 ≠ λ 2 , então

w 1 , w 2 = 0 , o que implica que w 1 , w 2 são ortogonais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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