5 Usando a definição, calcule a derivada da função f x = 2 x x 2 - 1 no ponto x 0 = 2 .

Passo 1

Fala meus chuchuzinhos da UFPE, bora matar essa questão de Cálculo 1?

Aqui nós vamos precisar calcular uma derivada pela definição... mas calma, basicamente vai ser uma questão de limite, por que a definição de derivada é a seguinte:

Dada uma função f ( x ) , sua derivada no ponto x 0 é:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

No nosso caso queremos a derivada em x 0 = 2 , portanto, vamos montar o nosso limite e depois resolvê-lo.

Passo 2

Temos que:

f x = 2 x x 2 - 1

E sua derivada em x 0 = 2 é dada por definição como:

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ 2 x x 2 - 1 - 2 2 2 2 - 1 x - 2

= lim x → 2 ⁡ 2 x x 2 - 1 - 4 3 x - 2

Realizando a subtração das frações no numerador...

= lim x → 2 ⁡ 6 x - 4 x 2 + 4 3 x 2 - 3 x - 2

= lim x → 2 ⁡ 6 x - 4 x 2 + 4 3 x 2 - 3 x - 2

Vamos substituir o valor do limite, para ver o que dá:

= 6 2 - 4 2 2 + 4 3 2 2 - 3 2 - 2 = 0 3 0 = 0 0

Repara que os termos que zeram são o polinômio do numerador e o x - 2 que está no denominador.

Vamos tentar abrir então o polinômio do numerador para que apareça um x - 2 que a gente possa cortar com o denominador...

Como o polinômio do numerador é de grau 2, podemos usar Bhaskara e reescreve-lo como:

- 4 x 2 + 6 x + 4 = a x - x 1 x - x 2

Onde a é o termo que usamos na fórmula de Bhaskara que acompanha o x 2 , nesse caso é a = - 4 , e x 1 e x 2 são as raízes que encontramos ao utilizar a fórmula.

Δ = 36 - 4 - 4 4

Δ = 36 + 64 = 100

x = - 6 ± 100 2 - 4 = - 6 ± 10 - 8

x 1 = 4 - 8 = - 1 2  

x 2 = - 16 - 8 = 2

Portanto, podemos reescrever:

- 4 x 2 + 6 x + 4 = - 4 x + 1 2 x - 2

E vamos substituir isso no nosso limite....

Passo 3

Temos que:

lim x → 2 ⁡ 6 x - 4 x 2 + 4 3 x 2 - 3 x - 2

Reescrevendo o termo do numerador, teremos:

lim x → 2 ⁡ - 4 x + 1 2 x - 2 3 x 2 - 3 x - 2

E portanto, podemos cortar o x - 2 de cima com o de baixo, o que provavelmente irá acabar com a nossa indeterminação...

lim x → 2 ⁡ - 4 x + 1 2 3 x 2 - 3

E substituindo o valor do limite, teremos:

- 4 2 + 1 2 3 2 2 - 3 = - 4 5 2 9 = - 10 9

Portanto, a derivada dessa função no ponto x 0 = 2 vale - 10 9

Resposta

Pela definição:

f ' 2 = - 10 9

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