03) Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' x 0 e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto ( x 0 ,   f x 0 ) .

f x = 1 x     ,     x 0 = 1 2

Passo 1

Ooi gente, tudo bem com vocês?

Essa questão nos pede duas coisas: a primeira é pra determinar a derivada da função em um ponto usando a definição de derivada, a segunda é pra determinar a reta que é tangente ao gráfico de f no mesmo ponto.

Bom, vamos por partes.

Pra calcular a derivada de f em um ponto podemos usar a definição normal de derivada, ou essa formulazinha que é bem útil em alguns casos:

f ' p = lim x - p ⁡ f x - f p x - p

Beleza! Já para calcular a tangente do gráfico em um certo ponto, precisamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto x 0 , é justamente o coeficiente angular da reta tangente a esse ponto.

Passo 2

Então bora lá, começando pelo cálculo de f ' 1 2 :

f ' 1 2 = lim x → 1 2 ⁡ 1 x - 1 1 2 x - 1 2 = lim x → 1 2 ⁡ 1 x - 2 x - 1 2 = lim x → 1 2 ⁡ 1 - 2 x x ⋅ 2 2 x - 1

Mas

1 - 2 x 2 x - 1 =   - 1

Então, voltando pro limite:

lim x → 1 2 ⁡ 1 - 2 x x ⋅ 2 2 x - 1 = lim x → 1 2 ⁡ - 2 x

Fazendo x = 1 2 , temos:

lim x → 1 2 ⁡ - 2 x =   - 2 1 2 =   - 4

Aee, excelente. Já conseguimos descobrir que f ' 1 2 =   - 4

Passo 3

Agora vamos encontrar a equação da reta tangente a f em x 0 = 1 2 .

É importante lembrar que o coeficiente angular da reta tangente é justamente f ' 1 2 =   - 4 .

Além disso, a equação da reta na forma reduzida é:

y - f x 0 = m ( x - x 0 )

Só precisamos descobrir quanto vale f 1 2 :

f 1 2 = 1 1 2 = 2

Pronto!! É só finalizar:

y - 2 =   - 4 x - 1 2

😊

Resposta

f ' 1 2 =   - 4

y - 2 =   - 4 x - 1 2

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