Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

Passo 1

Se antes de chegar nesse exercício você olhou a teoria (se não olhou, não tem problema que eu vou te explicando pelo caminho), você deve ter visto que para calcular uma derivada utilizando a sua definição, temos que resolver o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Até aqui tudo bem, só que no problema foi pedido para usarmos outra forma da definição. Mas repare que essas duas fórmulas são parecidas, então não muda muita coisa. As duas formas são equivalentes.

Então para resolver esse exercício vamos utilizar a fórmula que o problema deu. E o primeiro passo é começar trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z → x ⁡ z z - 1 - x x - 1 z - x

Passo 2

Como limite de z tende a x , vamos primeiro substituir z por x e ver se chegamos a algum resultado.

f ' x = lim z → x ⁡ x x - 1 - x x - 1 x - x = 0 0

Opa! Temos uma indeterminação. Então vamos mudar a estratégia.

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite. Primeiramente vamos juntar as frações que estão no numerador do limite:

f ' x = lim z → x ⁡ z x - 1 - x z - 1 x - 1 z - 1 z - x = lim z → x ⁡ x z - z - x z + x ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x = lim z → x ⁡ x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x

Agora vamos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda:

f ' x = lim z → x ⁡ x - z x - 1 z - 1   . 1 z - x = lim z → x ⁡ x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) ( z - x )

Repara que

x - z = - z - x

f ' x = lim z → x ⁡ - z - x x - 1 z - 1 z - x

Simplificando z - x :

f ' x = lim z → x ⁡ - 1 x - 1 z - 1

Trocando o valor de z por x o nosso limite vai ficar

f ' x = - 1 x - 1 2

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Resposta

f ' x = - 1 x - 1 2

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