Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Utilizando a definição, determine a derivada da função

f x = 1 x

no ponto x 0 = 1 .

Passo 1

Pela definição de derivada, temos que

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Logo,

f ' 1 = lim Δ x → 0 ⁡ f 1 + Δ x - f 1 Δ x

f ' 1 = lim Δ x → 0 ⁡ 1 1 + Δ x - 1 1 Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 1 1 + Δ x - 1 Δ x

Passo 2

Substituindo Δ x = 0 no limite, caímos numa indeterminação 0 / 0 , então vamos ajeitar essa expressão. Começando por botar tudo no mesmo denominador:

1 1 + Δ x - 1 Δ x = 1 - 1 + Δ x 1 + Δ x Δ x = 1 - 1 + Δ x Δ x 1 + Δ x

Portanto:

f ' 1 = lim Δ x → 0 ⁡ 1 - 1 + Δ x Δ x 1 + Δ x

Passo 3

Continuamos com a indeterminação, mas agora as coisas ficaram melhores!

Não acredita em mim? Olha ali no numerador, uma subtração com uma raiz: fatalmente vamos multiplicar pelo conjugado! Assim, ó:

lim Δ x → 0 ⁡ 1 - 1 + Δ x Δ x 1 + Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 1 - 1 + Δ x Δ x 1 + Δ x . 1 + 1 + Δ x 1 + 1 + Δ x

Daí no numerador, pelo produto notável, vai ficar:

1 - 1 + Δ x 1 + 1 + Δ x = 1 - 1 + Δ x = - Δ x

Passo 4

Então ficou:

f ' 1 = lim Δ x → 0 ⁡ - Δ x Δ x 1 + Δ x 1 + 1 + Δ x

Opa, dá pra cortar o Δ x :

f ' 1 = lim Δ x → 0 ⁡ - 1 1 + Δ x 1 + 1 + Δ x

E agora podemos substituir Δ x = 0 sem problemas:

f ' 1 = - 1 1 + 0 1 + 1 + 0 = - 1 1 . 1 + 1

⇒ f ' 1 = - 1 2

Resposta

f ' 1 = - 1 2

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