Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' ( x 0 ) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 ,   f x 0

f x = 1 x ,   x 0 = 1 2

Passo 1

Vamos usar a definição para calcular a derivada de f no ponto x 0 = 1 2 .

lim x → 1 2 ⁡ 1 x - 1 1 2 x - 1 2

lim x → 1 2 ⁡ 1 x - 2 x - 1 2

lim x → 1 2 ⁡ 1 - 2 x x 2 x - 1 2

lim x → 1 2 ⁡ 1 - 2 x 2 2 x - 1 x

lim x → 1 2 ⁡ - 2 x = - 2 1 2 = - 4

Passo 2

A reta tangente por enquanto está assim, agora que temos a derivada no ponto 1 2 :

y = - 4 x + b

O valor da função em   x 0 = 1 2 é

f 1 2   = 1 1 2 = 2

Agora podemos substituir x e y na equação da reta e achar b .

2 = - 4 1 2 + b

2 = - 2 + b

b = 4

Logo, a equação da reta tangente a f no ponto x 0 = 1 2 é

y = - 4 x + 4

Resposta

f ' 1 2 = - 4

y = - 4 x + 4

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