Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Considere a função f : I R → I R definida por:

f x = a ,     s e   x = 0 sin ⁡ x x - 2 3 x ,     s e   x ≠ 0

(b) Use a definição de derivada para mostrar que f não é derivável em x = 2

Passo 1

Opa, bora começar então! A questão pede pra gente usar a definição de derivada, não é mesmo? Po, já que é assim, um bom primeiro passo é enunciar a definição:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Beleeeza maaas, e agora? Bem, pra uma derivada em um ponto x qualquer existir, esse limite tem que existir, não é mesmo? Então ele não pode dar nenhum dos infinitos ou um resultado inconclusivo. Como queremos pra x = 2 , fazemos:

f ' 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ f 2 + ∆ x - f 2 ∆ x

Agora é só a gente substituir f 2 + ∆ x e f 2 pra ver a cara dessa função! Vamos começar com f 2 :

f x = a ,     s e   x = 0 sin ⁡ x x - 2 3 x ,     s e   x ≠ 0

f 2 = sin ⁡ 2 2 - 2 3 2 = 0

O limite fica então:

f ' 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ f 2 + ∆ x ∆ x

Passo 2

Show de bola, agora vamos definir f 2 + ∆ x . Usando a mesma lei de formação da outra vez vamos ter:

f 2 + ∆ x = sin ⁡ 2 + ∆ x 2 + ∆ x - 2 3 2 + ∆ x = sin ⁡ 2 + ∆ x 2 + ∆ x ∆ x 3

Substituindo no limite, temos:

f ' 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ f 2 + ∆ x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 + ∆ x 2 + ∆ x ∙ ∆ x 3 ∆ x

Usando a propriedade dos limites como acima, da pra fazer uma constante aparecer aí em! Da uma olhada:

f ' 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 + ∆ x 2 + ∆ x ∙ ∆ x 3 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 + ∆ x 2 + ∆ x ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ x 3 ∆ x

f ' 2 = sin ⁡ 2 2 ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ x 3 ∆ x

E agora sobrou outro limite pra gente se preocupar. Dando uma manipulada aí, chegamos ao seguinte resultado:

f ' 2 = sin ⁡ 2 2 ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ x 3 ∆ x = sin ⁡ 2 2 ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ x 3 ∆ x 3 3 =

f ' 2 = sin ⁡ 2 2 ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ x ∆ x 3 3 = sin ⁡ 2 2 ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ 1 ∆ x 2 3

E taí a nossa prova de que não existe derivada nesse ponto! Esse limite vai dar um dos infinitos!

f ' 2 = sin ⁡ 2 2 ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ 1 ∆ x 2 3 = sin ⁡ 2 2 ∙ 1 0 + 3 = + ∞

E prontinho! Como esse limite não existe, a função não possuí derivada nesse ponto!

Resposta

f x não possúi derivada em x = 2 porque, pela definição de derivada, o limite abaixo não existe:

f ' 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ f 2 + ∆ x - f 2 ∆ x = + ∞

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