Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Com a definição de derivada e as propriedades de limite, calcule f ' x para:

f x = 1 1 + 2 x

Passo 1

Lembrando a definição de derivada

Show de bola, vamos lá! Pra começar, vamos lembrar o que é uma derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Como sabemos a função, podemos montar esse limite como:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 1 + 2 x + h - 1 1 + 2 x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 1 + 2 x + 2 h - 1 1 + 2 x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 h + 2 x h + 2 h 2 - 1 h + 2 x h

Passo 2

Fazer todas as contas

Temos duas funções dentro desse limite ai que, se aplicarmos o limite, temos que f ' x → ∞ . Como isso não é possível, vamos tentar reescrever:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h + 2 x h h + 2 x h + 2 h 2 h + 2 x h - h + 2 x h + 2 h 2 h + 2 x h + 2 h 2 h + 2 x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ - 2 h 2 4 x + 2 h 3 + 4 x 2 + 4 x + 1 h 2

Dividindo todo mundo por h 2 :

f ' x = lim h → 0 ⁡ - 2 4 x + 2 h + 4 x 2 + 4 x + 1

Opa, agora da pra aplicar o limite, então vamo que vamo:

f ' x = lim h → 0 ⁡ - 2 4 x + 2 h + 4 x 2 + 4 x + 1 = - 2 4 x 2 + 4 x + 1

f ' x =   - 2 2 x + 1 2

Resposta

f ' x =   - 2 2 x + 1 2

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