Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = 1 + x

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.

Agora, trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z → x ⁡ 1 + z - 1 + x z - x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim z → x ⁡ 1 + z - 1 - x z - x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x

Substituindo z por x , temos uma indeterminação 0 / 0 .

Então vamos completar o conjugado no termo de cima, multiplicando por z + x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x z + x z + x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x z + x

Simplificando z - x

f ' x = lim z → x ⁡ 1 z + x

Passo 3

Agora, trocando z por x , vamos ter

f ' x = lim z → x ⁡ 1 z + x = 1 x + x

f ' x = 1 2 x

Resposta

f ' x = 1 2 x

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