1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x 0 indicado.

f. f x = tan ⁡ x e x 0 = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - tan ⁡ 0 x - 0

Como tan ⁡ 0 = 0 ,

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x

Se aplicarmos 0 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x

Lembra que

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Então, que podemos escrever o nosso limite assim

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x . lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x

Pelo limite fundamental trigonométrico, temos aqui

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Calculando o segundo limite temos que,

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x = 1

Juntando tudo,

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x . lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x = 1 . 1 = 1

Logo,

f ' 0 = 1

Resposta

1

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