Seja f x = x - 3 . Mostre que f não é diferenciável em x 0 = 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = x - 3

E pediu para mostrarmos que ela não é diferenciável em x 0 = 3

Mas você se lembra quais são os critérios que uma função precisa cumprir para que ela seja diferenciável em um determinado ponto x 0 ?

Como recordar é viver...

A função f é uma função diferenciável quando ela puder ser diferenciada nesse ponto! Ou seja, quando pudermos derivar!

Então o que podemos dizer mais sobre a diferenciabilidade? Uma função só é diferenciável se as derivadas laterais (em torno de x 0 ) são iguais e diferentes de ± ∞

f ' x 0 + = f ' x 0 - ≠ ± ∞

Um outro conceito que está super próximo é a continuidade: toda função diferenciável é contínua! A função será contínua em torno de x 0 quando os limites laterais dessa função foram iguais entre si e iguais à função no ponto:

lim x → x 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) = f ( x 0 )

E aqui atenção: toda função diferenciável é contínua, mas o inverso não é recíproco! Então minha sugestão é: começar pela continuidade da função! Se ela não for contínua ela já não é diferenciável! Mas se ela for contínua, aí você vai precisar testar as derivadas laterais, beleza?

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos testar a continuidade! Nossa função é modular

f x = x - 3

Então para x - 3 < 0 a função é - x + 3 e para x - 3 > 0 é x - 3 . Vãos calcular os limites laterais e ver se quando x se aproxima de 3 , tanto pela direita, quanto pela esquerda, os resultados são iguais

Tranquilo? Começando pelo limite pela direita

lim x → 3 + ⁡ x - 3 = 0

E pela esquerda:

lim x → 3 - ⁡ - x + 3 = 0

Ok! Mostramos que nossa função é contínua em x = 3 , mas será que ela é diferenciável?

Passo 3

Agora vamos para as derivadas laterais! Começando pela derivada pela direita:

f + x = x - 3 → f ' + x = + 1

Beleza? Agora pela esquerda (lembra que pela esquerda a função tem cara diferente!)

f - x = - x + 3 → f ' - x = - 1

Xii! As derivadas laterais são diferentes! Isso significa que, mesmo que nossa função seja contínua, ela não é diferenciável!

Beleza? E é isso! Mostramos que a função em x 0 = 3 não é diferenciável!

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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