Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

Elaboração própria

Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio f x = x n é:

f ' x = n x n - 1

Passo 1

Começamos na definição da derivada:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ x + Δ x n - x n Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O problema é ter que abrir um polinômio elevado a n .

E agora? É onde a álgebra vem ao resgate. Lembra do Binômio de Newton? Ele encontra regularidades que facilitam a representação do polinômio. Em outras palavras, ele vai nos ajudar a escrever a parte x + Δ x n de outra forma.

Então, usando o Binômio de Newton teremos,

x + Δ x n = ∑ i = 0 n n i x n - i   Δ x i

Então, galera, surgiram alguns termos que a gente não estava esperando né? Mas vamos lá!

n → é   o   n o   n o s s o   m a i o r   e x p o e n t e

i → v a i   i n d i c a r   o s   o u t r o s   e x p o e n t e s   q u e   a p a r e c e m ,   q u a n d o   a b r i m o s   a   e x p r e s s ã o

Agora vamos como calma!

Para i = 0 , temos

x + Δ x n = x n

Para   i = 1 , temos

x + Δ x n = n x n - 1 Δ x

Para i = 2 , temos

x + Δ x n = n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2

Sendo que nós temos todos esses termos em um somatório, né? Então fica assim,

x + Δ x n = x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + …

Substituindo na definição:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + … - x n Δ x

Repara que o x n cancela com - x n do final:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + … Δ x

Passo 3

Repara que sempre terá pelo menos um Δ x multiplicando o que sobrou. Podemos efetuar a divisão desse Δ x em cada termo:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ n x n - 1 + n n - 1 2 x n - 2 Δ x + …

Aplicando o limite, vão zerar todas essas potências de Δ x , restando só o primeiro termo, que não multiplica por Δ x . Deste modo,

f ' x = n x n - 1

Assim, a derivada de x n será n x n - 1 !

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas