1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x 0 indicado.

e. f x = x 4 e x 0 = 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ x 4 - 2 4 x - 2

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ x 4 - 16 x - 2

Se aplicarmos 2 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' 2 = lim x → 3 ⁡ x 4 - 16 x - 2 = 2 4 - 16 2 - 2 = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → 2 ⁡ x 4 - 16 x - 2

Lembra que

x 2 - a 2 = x - a x + a

Então, que podemos escrever o numerador da seguinte forma

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 x - 2

Repara que podemos aplicar o mesmo produto notável de novo para reescrever a parte x 2 - 2 , fica assim

lim x → 2 ⁡ x - 2 x + 2 x 2 + 4 x - 2

Simplicando,

lim x → 2 ⁡ x + 2 x 2 + 4 = 2 + 2 2 2 + 4 = 32

Logo,

f ' 2 = 32

Resposta

32

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