Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Suponha que f x ≤ x 2 para todo x ∈ R . Considere as seguintes afirmações:

  1. f é contínua em x = 0 .
  2. f é diferenciável em x = 0 .
  3. f ' 0 = 0 .

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Todas as três afirmativas.
  2. Somente a afirmativa (II).
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. Nenhuma das afirmativas.
  5. As afirmativas (I) e (II).

Passo 1

Inicialmente pode parecer que uma coisa não tem nada a ver com a outra, mas calma. Vamos ver que tem sim. Vamos analisar afirmação por afirmação.

Para a afirmação (I), temos que f é contínua em x = 0 , para tal, precisamos que:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

Para calcular o limite, vamos analisar a inequação f x ≤ x 2 , que tirando o módulo fica: - x 2 ≤ f x ≤ x 2  

Já que saindo o módulo, temos que considerar também a parte negativa. Ok, como essa inequação é válida para todo x ∈ R , para x = 0 , temos que: 0 ≤ f 0 ≤ 0

Logo, a única possibilidade é f 0 = 0 . Portanto, precisamos que: lim x → 0 ⁡ f x = 0

Para calcular esse limite, aplicamos o limite na inequação sem o módulo: - l i m x → 0 x 2 ≤ l i m x → 0 f x ≤ l i m x → 0 x 2

O que implica em: 0 ≤ l i m x → 0 f x ≤ 0

E, pelo teorema do confronto: lim x → 0 ⁡ f x = 0

Dessa maneira, a função é contínua e a afirmação (I) é verdadeira!

Passo 2

Vamos analisar a segunda afirmação agora. Para que seja verdade, precisamos que: lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x x

Exista e seja finito. Podemos chegar nesse limite através da inequação dividindo tudo por x : - l i m x → 0 x ≤ l i m x → 0 f x x ≤ l i m x → 0 x

Logo, temos que: 0 ≤ l i m x → 0 f x x ≤ 0

E, pelo teorema do confronto novamente: l i m x → 0 f x x = 0

Logo, o limite existe e é finito, logo a função é diferenciável e a afirmação (II) está correta.

Passo 3

Finalmente, vamos analisar a afirmação (III). Pela definição de derivada: f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x x

Vimos no passo anterior que: l i m x → 0 f x x = 0

Logo: f ' 0 = 0

E a afirmação é também correta. Como está tudo certo, a alternativa correta é a letra (a).

Resposta

Alternativa (a).

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