Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Questão 4:

Use a definição precisa de derivada (via limite) e prove que se f x = 2 x + 1 então f ' 0 = 1 .

Passo 1

É para provar usando a definição de derivada. Bem, essa definição é esse limite aqui:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Onde a é o ponto que estamos querendo a derivada. Esse ponto no caos é o 0 ...

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0   →

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x

O f x , nos temos...

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 - f 0 x

O f 0 ...

f 0 = 2 0 + 1 = 1

Então o nosso limite fica assim:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 - 1 x

Bora calcula-lo? ;)

Passo 2

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 - 1 x

Cara, em todo limite aonde o x vai para um número, é sempre aconselhável substituir esse número primeiro e ver o que acontece:

+ 1 - 1 0 = 0 / 0

Opa! 0 / 0 não é 0 , heim! Isso é uma indeterminação, e para calcularmos, precisamos encontrar uma fora de cortar algum x . Como temos raiz lá em cima, podemos pensar em multiplicar pelo conjugado para tentar elimina-la (como no processo reverso da racionalização):

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 - 1 x ⋅ 2 x + 1 + 1 2 x + 1 + 1 =

lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 2 - 1 x 2 x + 1 + 1 =

lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 - 1 x 2 x + 1 + 1 =

lim x → 0 ⁡ 2 x x 2 x + 1 + 1

Epa! x em cima e x em baixo... Podemos fazer o que queríamos, ou seja, cortar algum x ...

lim x → 0 ⁡ 2 x x 2 x + 1 + 1 = lim x → 0 ⁡ 2 2 x + 1 + 1 =

Substituindo agora...

lim x → 0 ⁡ 2 + 1 + 1 = 2 2 = 1

Então...

f ' 0 = 1

Resposta

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 - 1 x = 1

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