Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Seja f : I R → I R dada por f x = sin ⁡ 2 x sin ⁡ tan ⁡ x x ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                                           s e   x = 0 . Calcule, caso exista, f ' 0

Passo 1

Para uma derivada em um ponto x existir, pela definição de derivada, tem que ser válido:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Oras, na prática, a derivada existe se o limite existir e logo, for finito. Vamos então calcular esse limite! Como sabemos a lei de formação de f x e o ponto no qual queremos saber se existe derivada...

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x - f 0 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x ∆ x

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x 2

E dai em diante é conta!

Passo 2

Olha só, tem uma coisa muito suspeita nesse limite: ele tem função seno demais! Po, lembra do limite fundamental trigonométrico?

lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ ● ● = 1

Onde essa bolinha pode ser qualquer função de x que não importa, o limite se aplica! Vamos então tentar fazer esse limite aparecer no nosso dando algumas manipuladas. Da uma olhada:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x 2 ∙ 2 2

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x 2 ∆ x ∙ 2 sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x 2 ∆ x ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ 2 sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x

Opa, apareceu em!

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ● ● = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x 2 ∆ x = 1   →   ● = 2 ∆ x

Nosso limite fica:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x

O que ainda não resolveu porque eliminamos só um dos senos. Mas não tem problema! Podemos continuar usando essa ideia:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x ∙ tan ⁡ ∆ x tan ⁡ ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ tan ⁡ ∆ x tan ⁡ ∆ x ∙ 2 tan ⁡ ∆ x ∆ x

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ tan ⁡ ∆ x tan ⁡ ∆ x ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ 2 tan ⁡ ∆ x ∆ x

Limite fundamental novamente! Dessa vez com outro valor pra bolinha:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ● ● = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ tan ⁡ ∆ x tan ⁡ ∆ x = 1   →   ● = tan ⁡ ∆ x

E logo a nossa derivada fica com essa cara:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 tan ⁡ ∆ x ∆ x

Passo 3

Bem, a princípio, nos livramos de todas as funções seno, né não? Errooou! A verdade é que tem mais uma função seno, só que dentro da tangente! Nossa derivada fica:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 tan ⁡ ∆ x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 sen ⁡ ∆ x ∆ x cos ⁡ ∆ x

Manipulando um pouquinho, da pra fazer aparecer uma terceira e última vez o limite fundamental trigonométrico. Depois disso dá pra resolver o limite normalmente:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sen ⁡ ∆ x ∆ x ∙ 2 cos ⁡ ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sen ⁡ ∆ x ∆ x ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ ∆ x

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ ∆ x = 2 cos ⁡ 0 = 2 1 = 2

Ou seja, não só a derivada existe como conseguimos calcular!

f ' 0 = 2

Resposta

f ' 0 = 2

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