Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 153 , 1

Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

f x = 4 - x 2

f ' - 3 , f ' 0 , f ' 1

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Trocando o valor de f x o limite vai ficar

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 + x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ - 2 x Δ x - Δ x 2 Δ x

Podemos agora, cortar o Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ - 2 x - Δ x

Trocando o valor de Δ x por 0 o nosso limite vai ficar

f ' x = - 2 x

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Nem sempre vai ser só fazer umas continhas assim não, as vezes o limite fica mais brabo. Vamos ver isso nos próximos exercícios

Passo 3

Calma que ainda não acabou, falta achar a derivada nos pontos que ele pediu.

Agora é só trocar o valor de x pelo que ele pediu

f ' - 3 = - 2 - 3 = 6

f ' 0 = - 2 0 = 0

f ' 1 = - 2 1 = - 2

Resposta

f ' x = - 2 x

f ' - 3 = 6

f ' 0 = 0

f ' 1 = - 2

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