Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Usando a definição de derivada, calcule f ' x , para f x = x + 2 , definida para x > - 2

Passo 1

Outra daquelas direto ao ponto. Bem, já que pede pra usar a definição de derivada, vamos enunciar, ok? Teremos:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Substituindo, ficamos com:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x + 2 - x + 2 ∆ x

Note que se substituirmos, uma indeterminação aparece:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x + 2 - x + 2 ∆ x = x + 2 - x + 2 0 = 0 0

Ou seja, temos que nos livrar dessa indeterminação!

Passo 2

Po, esse limite doido tem uma diferença de polinômios dentro de raízes. Que tal a gente tirar essas raízes? Pra isso uma boa ideia é multiplicarmos em cima e em baixo pelo conjugado do numerador. Saca só como fica:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x + 2 - x + 2 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x + 2 - x + 2 ∆ x ∙ x + ∆ x + 2 + x + 2 x + ∆ x + 2 + x + 2

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x + 2 - x + 2 ∆ x   x + ∆ x + 2 + x + 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x + 2 - x - 2 ∆ x   x + ∆ x + 2 + x + 2

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ x ∆ x   x + ∆ x + 2 + x + 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 x + ∆ x + 2 + x + 2

E agora vai em! Se substituirmos ∆ x = 0 a indeterminação some! Vamos ficar com:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 x + ∆ x + 2 + x + 2 = 1 x + 2 + x + 2 = 1 2 x + 2

A derivada então vai ser:

f ' x = 1 2 x + 2

Resposta

f ' x = 1 2 x + 2

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