Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Usando a definição de derivada, calcule f ' x para

f x = 1 2 + x  

Passo 1

Vamos aplicar a fórmula da definição da derivada.

lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 2 + x + ∆ x - 1 2 + x ∆ x =

Juntando todo o numerador numa fração só:

lim ∆ x → 0 ⁡ 2 + x - 2 + x + ∆ x ( 2 + x + ∆ x ) ( 2 + x ) ∆ x =

lim ∆ x → 0 ⁡ 2 + x - 2 + x + ∆ x ) ∆ x ( 2 + x + ∆ x ) ( 2 + x ) =

lim ∆ x → 0 ⁡ x - x + ∆ x ∆ x ( 2 + x + ∆ x ) ( 2 + x ) =

Passo 2

Agora vamos multiplicar a função pelo conjugado de x - x + ∆ x .

lim ∆ x → 0 ⁡ x - x + ∆ x ∆ x 2 + x + ∆ x 2 + x . ( x + x + ∆ x ) ( x + x + ∆ x ) =

lim ∆ x → 0 ⁡ x - x + ∆ x ∆ x 2 + x + ∆ x 2 + x ( x + ∆ x + x ) =

lim ∆ x → 0 ⁡ - ∆ x ∆ x 2 + x + ∆ x 2 + x ( x + ∆ x + x ) =

Passo 3

Agora podemos finalmente cortar o ∆ x e substituir por 0 .

lim ∆ x → 0 ⁡ - 1 2 + x + ∆ x 2 + x ( x + ∆ x + x ) = - 1 2 + x + 0 2 + x x + 0 + x = - 1 2 + x ² 2 x

Resposta

f ' x = - 1 2 + x ² 2 x

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