Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' ( x 0 ) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 ,   f x 0

f x = x 2 + 4 ,   x 0 = 5

Passo 1

Vamos usar a definição para calcular a derivada de f no ponto x 0 = 5 .

lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

lim x → 5 ⁡ x 2 + 4 - 5 2 + 4 x - 5

lim x → 5 ⁡ x 2 + 4 - 9 x - 5

lim x → 5 ⁡ x 2 + 4 - 3 x - 5

Pra continuar usaremos a técnica do conjugado tanto com o termo do numerador quanto como termo do denominador.

lim x → 5 ⁡ x 2 + 4 - 3 x - 5 . ( x 2 + 4 + 3 ) ( x 2 + 4 + 3 ) . ( x + 5 ) ( x + 5 )

lim x → 5 ⁡ x 2 + 4 2 - 3 2 ( x + 5 ) x 2 - 5 2 ( x 2 + 4 + 3 )

lim x → 5 ⁡ x 2 + 4 - 9 ( x + 5 ) x 2 - 5 ( x 2 + 4 + 3 )

lim x → 5 ⁡ x 2 - 5 ( x + 5 ) x 2 - 5 ( x 2 + 4 + 3 )

lim x → 5 ⁡ ( x + 5 ) ( x 2 + 4 + 3 ) = ( 5 + 5 ) 5 2 + 4 + 3 = 2 5 9 + 3 = 2 5 6 = 5 3

Portanto, a derivada é 5 3 .

Passo 2

Para determinar a equação da reta tangente devemos lembrar que a derivada é o mesmo que o coeficiente angular da reta. Então sabemos que

y = 5 3 x + b

Se tivermos um ponto dessa reta podemos substituir e descobrir sua equação. Estamos analisando a reta no ponto x 0 = 5 então vamos descobrir o valor da função nesse ponto.

f 5   = 5   2 + 4 = 9 = 3

Agora podemos substituir x e y na equação da reta e achar b .

3 = 5 3 5 + b

b = 4 3

Logo, a equação da reta tangente a f no ponto x 0 = 5 é

y = 5 3 x + 4 3

Resposta

f ' 5 = 5 3

y = 5 3 x + 4 3

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