Seja f uma função definida em ℝ. Suponha que exista M > 0 tal que, para todo x ,

| f ( x ) - f ( x 0 ) | ≤ M | x - x 0 | 2 .

Mostre que f é contínua em x 0 .

Passo 1

Eaew, tudo bem com você?

O enunciado nos dá uma função definida nos reais, em que para um M > 0 , ela obedece a seguinte desigualdade

| f ( x ) - f ( x 0 ) | ≤ M | x - x 0 | 2 .

e, o enunciado nos pede para mostrarmos que esta função f é contínua no ponto x = x 0 . Mas como fazemos isso? Uma função contínua em um ponto deve obedecer a seguinte relação

l i m x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 )

O segredo para mostrar que esta afirmação é verdade está em usar a desigualdade dada e o teorema do confronto! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos usar é que como temos uma função módulo em nossa desigualdade da forma | f ( x ) - f ( x 0 ) | , nós podemos expandir a desigualdade para

- M | x - x 0 | 2 ≤ f ( x ) - f ( x 0 ) ≤ M | x - x 0 | 2 .

pois os valores negativos em módulo também devem obedecer a desigualdade. Se avaliarmos o limite desejado em toda a desigualdade, temos que

l i m x → x 0 [ - M | x - x 0 | 2 ] ≤ l i m x → x 0 [ f ( x ) - f ( x 0 ) ] ≤ l i m x → x 0 [ M | x - x 0 | 2 ] .

Consegue resolver este limite? Vem comigo!

Passo 3

O limite do centro pode ser resolvido, mas não nos ajuda a obter a demonstração desejada, o interessante é calcularmos os extremos da desigualdade, temos que

l i m x → x 0 [ - M | x - x 0 | 2 ] = - M l i m x → x 0 | x - x 0 | 2

Avaliando o limite em x = x 0 , temos que

- M l i m x → x 0 | x - x 0 | 2 = - M | x 0 - x 0 | 2 = 0

Da mesma forma, temos que

l i m x → x 0 [ M | x - x 0 | 2 ] = M l i m x → x 0 | x - x 0 | 2 = 0

Sendo assim, a nossa desigualdade é da forma

0 ≤ l i m x → x 0 [ f ( x ) - f ( x 0 ) ] ≤ 0

Você consegue usar o teorema de confronto para justificar qual será o limite central? Saca só!

Passo 4

O teorema do confronto nos garante que

l i m x → x 0 [ f ( x ) - f ( x 0 ) ] = 0

ou seja, podemos expandir a função para

l i m x → x 0 f ( x ) - l i m x → x 0 f ( x 0 ) = l i m x → x 0 [ f ( x ) ] - f ( x 0 )

já que f ( x 0 ) já é a função avaliada em um ponto, portanto, é apenas uma número. Como temos então que

l i m x → x 0 [ f ( x ) ] - f ( x 0 ) = 0

o limite da função é

l i m x → x 0 [ f ( x ) ] = f ( x 0 )

que é a definição mais básica de continuidade! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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