1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x 0 indicado.

h. f x = 2 x e x 0 = 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' 3 = lim x → 3 ⁡ 2 x - 2 3 x - 3

f ' 3 = lim x → 3 ⁡ 2 x - 8 x - 3

Se aplicarmos 3 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' 3 = lim x → 3 ⁡ 2 x - 8 x - 3 ⁡ = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → 3 ⁡ 2 x - 8 x - 3

Pelo limite fundamental exponencial, temos aqui

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Mas repara que está um pouco diferente. Então vamos fazer algumas modicações na nossa função.

Vamos tentar colocando o 2 x em evidência

lim x → 3 ⁡ 2 x 1 - 2 3 - x x - 3

Repara que chegamos em algo parecido, mas no nosso limite fundamental temos um - 1 . Então vamos multiplicar por - 1 em cima e embaixo.

lim x → 3 ⁡ 2 x 2 3 - x - 1 3 - x

Agora está bem parecido! Mas para ficar mais claro, vamos abrir o nosso limite um produto de limites:

lim x → 3 ⁡ 2 x 2 3 - x - 1 3 - x = lim x → 3 ⁡ 2 x . lim x → 3 ⁡ 2 3 - x - 1 3 - x

Agora vamos resolver!

Passo 4

Resolvendo o primeiro limite ficamos com,

lim x → 3 ⁡ 2 x = 2 3 = 8

Já para o segundo, vamos aplicar o limite fundamental exponencial. Mas antes precisamos fazer uma mudança de variável para termos x → 0 .

lim x → 3 ⁡ 2 3 - x - 1 3 - x

Vamos fazer

u = 3 - x

u → 0

O limite ficará assim:

lim u → 0 ⁡ 2 u - 1 u = ln ⁡ 2

Juntando ficamos com,

lim x → 3 ⁡ 2 x 2 3 - x - 1 3 - x = lim x → 3 ⁡ 2 x . lim x → 3 ⁡ 2 3 - x - 1 3 - x = 8 ln ⁡ 2 )

Logo,

f ' 3 = 8 ln ⁡ 2

Resposta

8 ln ⁡ 2

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