Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

2) Calcule, usando a definição, a derivada da função f x = 1 - 2 x 3 + x no ponto x = 2

Passo 1

Uma pena não podermos usar regras de derivação aqui, seria mais tranquilo pra gente. Mas relaxa, vamos tirar de letra mesmo assim. Vem comigo! Pra começar, veja que:

f 2 = 1 - 2.2 3 + 2 = 1 - 4 5 = - 3 5

Ok, mas porque saber disso? Bem, pela definição, a derivada de f x é:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Então, como o enunciado pede f ' 2 , vamos ter:

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ f 2 + h - f 2 h = lim h → 0 ⁡ 1 - 2 2 + h 3 + 2 + h - - 3 5 h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 1 - 4 - 2 h 5 + h + 3 5 h = lim h → 0 ⁡ - 3 - 2 h 5 + h + 3 5 h

Colocando tudo no mesmo denominador:

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 3 - 2 h 5 + h + 3 5 h = lim h → 0 ⁡ - 15 - 10 h 5 5 + h + 3 5 + h 5 5 + h h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 15 - 10 h 5 5 + h + 15 + 3 h 5 5 + h h = lim h → 0 ⁡ - 15 - 10 h + 15 + 3 h 5 h 5 + h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 7 h 5 h 5 + h = lim h → 0 ⁡ - 7 5 5 + h

Passo 2

Beleza, sumimos com todos os valores de x ao substituirmos por 2 e acabamos parando com um limite bem tranquilo. Então relaxa que agora pra fechar essa questão e partir pro abraço, é só calcular o limite:

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 7 5 5 + h = - 7 5 5 + 0 = - 7 25

Resposta

f ' 2 = - 7 25

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