Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada de involuta do círculo. Se o círculo tiver raio r e centro O, a posição inicial de P for (r, 0), e se o parâmetro θ for escolhido como na Figura 1(a), mostre que as equações paramétricas da involuta são:

  x   =   r ( c o s   θ   +   θ   s i n   θ ) e y   =   r ( s i n   θ   −   θ   c o s   θ )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que chegar nas equações paramétricas da involuta:

  x   =   r ( c o s   θ   +   θ   s i n   θ ) e y   =   r ( s i n   θ   −   θ   c o s   θ ) .

Olhando para a figura temos dois triângulos, B O T e A T P :

Como o segmento de barbante T P _ = r θ , que foi desenrolado, está sempre tangenciando o círculo, temos que o ângulo A T ^ P é igual ao ângulo θ . Assim, temos que as coordenadas do ponto P serão dadas pela soma ou subtração dos catetos dos triângulos.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando novamente para a figura

Temos que:

x = O B _ + A P _ = r   c o s θ + r θ   s i n θ

y = B T _ - A T _ = r   s i n θ - r θ c o s θ

Então, as equações paramétricas da involuta são:

  x   =   r ( c o s   θ   +   θ   s i n   θ ) e y   =   r ( s i n   θ   −   θ   c o s   θ ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.