Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Determine a equação da reta normal ao gráfico de cada função a seguir no ponto

a indicado.

f ( x ) = x 3 - 4 x 2 + 5

no ponto x = 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar a reta normal ao gráfico no ponto x = 0 . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico, e reta normal? Vamos revisar!

a reta r tangente ao gráfico da função f no ponto x = x 0 é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, ela depende da derivada de f . O que faz sentido, já que a derivada de uma função da a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.

e o que seria a reta normal? Ora é a reta perpendicular à reta tangente. Então, se

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

é a reta tangente ao gráfico no ponto x = x 0 . A reta normal nesse ponto será:

n :   ( y - f ( x 0 ) ) = - 1 f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:

Passo 2

Queremos encontrar a reta tangente a f no ponto x = 0 . A nossa f é a função abaixo.

f ( x ) = x 3 - 4 x 2 + 5

Vimos no passo anterior que a reta é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

no nosso caso, x 0 = 0 . Vamos começar calculando a derivada de f . Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:

( x p ) ' = p ( x p - 1 )

então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que

f ' ( x ) = ( x 3 - 4 x 2 + 5 ) '

= ( x 3 ) ' - 4 ( x 2 ) ' + 5 '

= 3 x 2 - 8 x

Calculando f ' ( x 0 ) , para x 0 = 0 temos:

f ' ( 0 ) = 0

Acabamos de obter a inclinação da reta tangente no ponto x = 0 . Descobrimos que

f ' ( 0 ) = 0

Agora, só precisamos substituir os valores na equação da reta normal. Lembrando que ela é dada por

n :   ( y - f ( x 0 ) ) = - 1 f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Mas pera aí, temos um problema. Pois como f ' ( 0 ) = 0 , não podemos substituir o valor na equação da reta normal, pois teríamos uma divisão zero. Então, o que fazemos?

Ora, vamos pensar. Se f ' ( 0 ) = 0 , isso quer dizer que a reta tangente é paralela ao eixo o x do gráfico, logo a reta normal, que perpendicular a reta tangente, será paralela ao eixo o y , e além disso irá passar por x 0 = 0 . Isso quer dizer que reta normal é a reta

n : x = 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

n :   x = 0