Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Mostre que o ponto P   =   ( 4 ,   1 ,   - 1 ) não pertence à reta r   :   X   =   ( 2 ,   4 ,   1 )   +   λ ( 1 ,   - 1 ,   2 ) , λ   ∈   R , e obtenha uma equação geral do plano determinado por r   e   P .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e para que o ponto P pertença a reta r, deve existir um numero λ tal que:

4 ,   1 ,   - 1 = 2,4 , 1 + λ 1 , - 1,2

Então vamos eu e voce descobrir se esse tal número existe.

Passo 2

4,1 , - 1 = 2 + λ ,   4 - λ ,   1 + 2 λ

2 + λ = 4 4 - λ = 1 1 + 2 λ = - 1

Da primeira equação, temos que

λ = 4 - 2

= 2

Porém na segunda equação temos que λ = 3 e na terceira temos que λ = - 1 .Sendo assim, como encontramos valores diferentes esse ponto não pertence a essa reta.

Passo 3

Vamos chamar A   =   2 ,   4 ,   1 o vetor do plano quando λ = 0

Então o plano que queremos passa pelos pontos P e por A, e temo os vetores diretores 1 , - 1,2 e A P → . Como queremos a equação geral do plano, precisamos de um vetor normal dele, que vai ser o dado pelo produto vetorial dos vetores diretores.

A P → = P - A = 2 , - 3 , - 2

n → = 1 , - 1,2 ∧ 2 , - 3 , - 2 = 8,6 , - 1

A equação desse plano é escrita no formato:

8 x + 6 y - z + d = 0

Para encontrarmos d, vamos substituir o Ponto P ou A nessa equação. Substituindo A:

8 2 + 6 4 - 1 + d = 0

d = - 39

Entao nossa equação é:

8 x + 6 y - z - 39 = 0

Resposta

8 x + 6 y - z - 39 = 0