Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

A função r : 0 ,   ∞ → R 3 dada por r t = t cos ⁡ ( t ) ,   t sin ⁡ ( t ) ,   t parametriza uma curva C que está sobre uma superfície de equação z = f ( x ,   y ) . Obtenha tal equação e esboce a superfície. Na mesma figura, esboce a curva C e, ainda, detaque o ponto r ( 3 π ) e esboce o vetor r ' ( 2 π ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada r t = t cos ⁡ ( t ) ,   t sin ⁡ ( t ) ,   t e quer que a gente encontre a equação catersiana que está sob a curva que deu origem a essa parametrização. Em seguida, esboçar a curva C junto com o vetor derivada de r e o ponto r ( 3 π ) .

Esse é o caminho inverso ao que geralmente fazemos quando precisamos parametrizar uma curva. Agora nós queremos descobrir a equação da curva que foi parametrizada. Para isso, vamos encontrar uma relação cartesiana entre as componentes do vetor r t . No nosso caso, temos:

x t = t cos ⁡ t

y t = t sin ⁡ t

z t = t

Assim, usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , conseguimos definir uma relação cartesiana. Com isso, vamos plotar a curva em um gráfico e marcar os pontos que a questão pediu.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar observando nosso vetor r t = t cos ⁡ ( t ) ,   t sin ⁡ ( t ) ,   t . Repare que, pela relação trigonométrica ( cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 ):

[ x t ] 2 + [ y t ] 2 = [ z t ] 2

Para todo t ∈ R . Dessa forma, nossa curva estará acima da superfície do cone:

z 2 = x 2 + y 2

Isso significa que a nossa curva C será uma curva helicoidal cônica, porque ela vai “percorrendo” a superfície do cone.

Com a ajuda de um software, a gente consegue plotar o cone usando a equação dessa superfície que nós encontramos, z 2 = x 2 + y 2 . Em seguida, nós plotamos a curva C (em preto), usando o vetor r t = t cos ⁡ ( t ) ,   t sin ⁡ ( t ) ,   t , onde t o parâmetro que varia de 0 a , como foi definido no enunciado. Assim, nós temos:

Repare nos pontos A e B em azul. O ponto A representa o   p o n t o   r ( 3 π ) , que a gente calcula substituindo 3 π na equação:

r t = t cos ⁡ ( t ) ,   t sin ⁡ ( t ) ,   t →   r 3 π = 3 π ∙ cos ⁡ 3 π ,   3 π sin ⁡ 3 π ,   3 π

Assim,

r 3 π = ( - 3 π ,   0 ,   3 π )

E o ponto B representa a derivada do vetor r no ponto 2 π , ou seja:

r ' t = t cos ⁡ t ,   t sin ⁡ t ,   t ' = cos ⁡ t - t sin ⁡ t , sin ⁡ t + t cos ⁡ t ,   1

Aplicando o ponto 2 π :

r ' 2 π = cos ⁡ ( 2 π ) - 2 π ∙ sin ⁡ 2 π , sin ⁡ 2 π + 2 π ∙ cos ⁡ ( 2 π ) ,   1

r ' 2 π = ( 1 ,   2 π ,   1 )

Juntando tudo, a gente tem a nossa figura no gráfico.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

z 2 = x 2 + y 2

G r á f i c o   n o s   p a s s o s