Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de dois pontos distintos A e B é o plano que contém o ponto médio do segmento AB e é perpendicular à reta que passa por A e B.

Passo 1

- Seja A um ponto no espaço tridimensional, com coordenadas (x1, y1, z1).

- Seja B outro ponto no espaço tridimensional, com coordenadas (x2, y2, z2).

- O ponto médio M do segmento AB terá coordenadas [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2].

Vamos considerar um ponto P no espaço com coordenadas genéricas (x, y, z) e investigar quando ele é equidistante de A e B.

A distância entre P e A é dada pela fórmula da distância euclidiana:

D(AP) = x   –   x 1 2 +   y   –   y 1 2 +   z   –   z 1 2

E a distância entre P e B é:

D B P =   x   –   x 2 2 +   y   –   y 2 2 +   z   –   z 2 2

Passo 2

Agora, queremos encontrar os pontos P que são equidistantes de A e B, ou seja, D(AP) = D(BP).

Isso implica:

      x   -   x 1 2 +   y   -   y 1 2 +   z   -   z 1 2 =   x   -   x 2 2 +   y   -   y 2 2 +   z   -   z 2 2

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

      x   -   x 1 2 +   y   -   y 1 2 +   z   -   z 1 2 =   x   -   x 2 2 +   y   -   y 2 2 +   z   -   z 2 2

4. Expandindo os termos quadrados:

      x 2 -   2 x 1 x   +   x 1 2 +   y 2 -   2 y 1 y   +   y 1 2 +   z 2 -   2 z 1 z   +   z 1 2 =   x 2 -   2 x 2 x   +   x 2 2 +   y 2 -   2 y 2 y   +   y 2 2 +   z 2 -   2 z 2 z   +   z 2 2

5. Cancelando os termos x^2, y^2 e z^2 de ambos os lados da equação:

      -   2 x 1 x   +   x 1 2 -   2 y 1 y   +   y 1 2 -   2 z 1 z   +   z 1 2 =   -   2 x 2 x   +   x 2 2 -   2 y 2 y   +   y 2 2 -   2 z 2 z   +   z 2 2

6. Agora, vamos reorganizar os termos:

      -   2 x 1 x   +   x 1 2 -   2 y 1 y   +   y 1 2 -   2 z 1 z   +   z 1 2 =   -   2 x 2 x   +   x 2 2 -   2 y 2 y   +   y 2 2 -   2 z 2 z   +   z 2 2 2 x 1 x   -   2 x 2 x   +   x 1 2 -   x 2 2 +   2 y 1 y   -   2 y 2 y   +   y 1 2 -   y 2 2 +   2 z 1 z   -   2 z 2 z   +   z 1 2 -   z 2 2 =   0

7. Podemos fatorar o 2 dos termos:

      2 x 1   -   x 2 x   +   2 y 1   -   y 2 y   +   2 z 1   -   z 2 z   +   x 1 2 -   x 2 2 +   y 1 2 -   y 2 2 +   z 1 2 -   z 2 2 =   0

8. Dividindo ambos os lados por 2:

      x 1   -   x 2 x   +   y 1   -   y 2 y   +   z 1   -   z 2 z   + x 1 2 -   x 2 2 +   y 1 2 -   y 2 2 +   z 1 2 -   z 2 2 2 =   0

Agora, essa é uma equação linear que descreve um plano no espaço tridimensional. O coeficiente de x é (x1 - x2), o coeficiente de y é (y1 - y2), o coeficiente de z é (z1 - z2), e o termo constante é x 1 2 –   x 2 2 +   y 1 2 –   y 2 2 +   z 1 2 –   z 2 2 2 .

Portanto, o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes de A e B é, de fato, um plano. Além disso, esse plano é perpendicular à reta que passa por A e B, pois os vetores normais do plano são proporcionais aos coeficientes dos pontos A e B, que são os vetores que definem a direção da reta.

Resposta

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