Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Encontre a projeção tomada paralelamente à reta dada por r : (x , y , z) = (0 , 0 , 0) +

λ(1 , 4 , 1), λ ∈ R, do ponto P = (1 , 4 , 0) sobre o plano dado por π : x + y − 2 z + 1 = 0.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente encontrar a projeção tomada paralelamente à reta r do ponto P sobre o plano π . Portanto, precisamos primeiramente projetar o ponto P sobre o plano π e em seguida projetar esse resultado ao longo da reta r. Como o plano π possui equação dada por

x + y - 2 z + 1 = 0

Temos que ele é paralelo ao plano com equação x + y - 2 z = 0 , visto que seus pontos só estão todos deslocados por um fator +1. Então, o vetor ortogonal aos dois planos é o mesmo, que vem a ser o vetor com componentes:

( a , b , c ) = ( 1,1 , - 2 )

Como o módulo desse vetor é u = 1 ² + 1 ² + ( - 2 ) ² = 6 , podemos normalizar esse vetor, fazendo

u = 1 6 ( 1,1 , - 2 )

Então, para calcularmos a projeção do ponto P no plano π , precisamos primeiro projetar o vetor v que liga a origem ao ponto P no vetor ortogonal u = 1 6 ( 1,1 , - 2 ) . Fazendo isso, obtemos:

v ⋅ u = ( 1,4 , 0 ) ⋅ 1 6 ( 1,1 , - 2 ) = 1 6 + 4 6 = 5 6

Então, a projeção do ponto P no plano é simplesmente a subtração do vetor v pela projeção de v perpendicular ao plano, ou seja:

v p l a n o = v - ( v ⋅ u ) u = ( 1,4 , 0 ) - 5 6 ( 1,1 , - 2 ) = 1 6 ,   19 6 , 5 3

Então, essa é a projeção do ponto P sobre o plano π . Agora, só precisamos projetar este vetor ao longo da reta r. Então vamos lá!

Passo 2

Como a reta r é dada pela equação r : (x , y , z) = (0 , 0 , 0) + λ(1 , 4 , 1), vemos que o seu vetor diretor w é o vetor com coordenadas

w = ( 1,4 , 1 )

O módulo desse vetor é dadO por w = 1 ² + 4 ² + 1 ² = 18 = 3 2 . Então, podemos normalizar o vetor diretor da reta fazendo

w = 1 3 2 ( 1,4 , 1 )

Assim, temos que a projeção de v p l a n o ao longo da reta é dada pelo produto escalar deste vetor por w:

v p l a n o ⋅ w = 1 6 ,   19 6 , 5 3 ⋅ 1 3 2 ( 1,4 , 1 ) = 1 18 2 + 38 9 2 + 5 9 2 = 87 18 2

Então, a projeção de v p l a n o ao longo da reta é simplesmente o valor acima vezes o vetor diretor da reta

v p l a n o ⋅ w w = 87 18 2 w = 87 18 2 1 3 2 ( 1,4 , 1 ) = 87 108 , 87 27 , 87 108

Resposta

87 108 , 87 27 , 87 108