Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

(Capítulo 13.2 – Exercício 23)

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = 1 + 2 t ,   y = t 3 - t ,   z = t 3 + t ; ( 3,0 , 2 )

Passo 1

Salveeee galera! Vamos pra mais uma de derivadas?

Nesse caso, temos uma curva r ( t ) , e aí queremos encontrar o vetor tangente a essa curva no ponto que foi dado

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação vetorial da nossa curva:

r t = 1 + 2 t ,   t 3 - t ,   t 3 + t

Para encontrarmos o vetor tangente, precisamos derivar a curva r ( t ) , e fazemos isso derivando cada componente individualmente, beleza?

Então a nossa derivada é

r ' t = 1 t ,   3 t 2 - 1 ,   3 t 2 + 1

Show, agora vamos trabalhar com aquele ponto ( 3,0 , 2 ) aplicado nessa curva

Passo 3

O ponto ( 3,0 , 2 ) corresponde a:

x = 3 y = 0 z = 2

Substituindo as expressões, temos

1 + 2 t = 3 t 3 - t = 0 t 3 + t = 2

Então, o ponto ( 3,0 , 2 ) corresponde a t = 1

Substituindo t = 1 na derivada r ' ( t ) , encontramos o vetor tangente:

r ' 1 = 1 1 ,   3 ⋅ 1 2 - 1 ,   3 ⋅ 1 2 + 1

r ' 1 = ( 1,2 , 4 )

Assim, a reta tangente passa pelo ponto ( 3,0 , 2 ) e é paralela ao vetor ( 1,2 , 4 )

Agora só falta encontrar as equações paramétricas

Passo 4

Sabendo que as equações paramétricas de uma reta são dadas por

x = a + d . t y = b + e . t z = c + f . t

Onde ( a , b , c ) é um ponto e ( d , e , f ) é o vetor diretor, vamos usar o fato de que nossa reta passa no ponto ( 3,0 , 2 ) e tem vetor diretor ( 1,2 , 4 )

Então, temos que as equações paramétricas são:

x = 3 + t y = 0 + 2 t z = 2 + 4 t

E é issooo

Resposta

x = 3 + t y = 0 + 2 t z = 2 + 4 t