Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

3 – Considere a função f x , y = x y .

e) Determine uma equação cartesiana para o plano tangente ao gráfico de f no ponto 2,1 , f 2,1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter o plano tangente a f que passa pelo ponto P = 2,1 , f 2,1

Como fazemos isso? 🤔

Para obter um plano tangente, aplicamos uma formulinha dada por

z - z 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y y - y 0

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f , depois substituímos as coordenadas do ponto P nos resultados e substituímos as coordenadas dos pontos na formulinha...

Sacou? Bora lá!

Passo 2

A derivada de f com relação a x é obtida pelo método de derivação polinomial, ou seja

∂ f ∂ x = ∂ x y ∂ x = y

Aplicando o ponto a essa derivada, temos

∂ f x 0 , y 0 ∂ x = 1

Fazemos o mesmo agora para a derivada de f com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ x y ∂ y = x

∂ f x 0 , y 0 ∂ y = 2

O valor de z 0 é obtido como a imagem de f no ponto 2,1 ou seja

f 2,1 = z 0 = 2 · 1

z 0 = 2

Legal né? 😁

Passo 3

Agora substituímos na formulinha, os valores que obtemos

z - z 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y y - y 0

z - 2 = 1 x - 2 + 2 y - 1

z = x + 2 y - 2

Veja só como fica esse plano com nosso gráfico de f

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

z = x + 2 y - 2