Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Determine a equaç��o da reta normal ao gráfico de cada função a seguir no ponto

a indicado.

f ( x ) = 2 x 3 - x 2 - 4 x

no ponto x = - 1

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar a reta normal ao gráfico no ponto x = - 1 . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico, e reta normal? Vamos revisar!

a reta r tangente ao gráfico da função f no ponto x = x 0 é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, ela depende da derivada de f . O que faz sentido, já que a derivada de uma função da a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.

e o que seria a reta normal? Ora é a reta perpendicular à reta tangente. Então, se

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

é a reta tangente ao gráfico no ponto x = x 0 . A reta normal nesse ponto será:

n :   ( y - f ( x 0 ) ) = - 1 f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:

Passo 2

Queremos encontrar a reta tangente a f no ponto x = - 1 . A nossa f é a função abaixo.

f ( x ) = 2 x 3 - x 2 - 4 x

Vimos no passo anterior que a reta é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

no nosso caso, x 0 = - 1 . Vamos começar calculando a derivada de f . Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:

( x p ) ' = p ( x p - 1 )

então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que

f ' ( x ) = ( 2 x 3 - x 2 - 4 x ) '

= 2 ( x 3 ) ' - ( x 2 ) ' - 4 ( x ) '

= 6 x 2 - 2 x - 4

Calculando f ' ( x 0 ) , para x 0 = - 1 temos:

f ' ( - 1 ) = 6 ( - 1 ) 2 - 2 ( - 1 ) - 4

= 4

Acabamos de obter a inclinação da reta tangente no ponto x = - 1 . Descobrimos que

f ' ( - 1 ) = 4

Agora, só precisamos substituir os valores na equação da reta normal. Lembrando que ela é dada por

n :   ( y - f ( x 0 ) ) = - 1 f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Substituindo os valores:

n :   ( y - f ( - 1 ) ) = - 1 4 ( x - ( - 1 ) )

⇒ n :   ( y - 1 ) = - 1 4 ( x + 1 )

Isolando y , descobrimos que a reta normal é:

n :   y = - x 4 + 3 4

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

n :   y = - x 4 + 3 4