Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Determine equações paramétricas da reta t simétrica da reta r determinada pelos pontos A =

(1, 0, 0) e B = (0, −1, −1) em relação ao plano π : x + y − z = 3.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão pede para a gente determinar equações paramétricas para uma reta t que é simétrica, em relação ao plano π , à reta r que liga os pontos A e B. Primeiro, vamos determinar a equação da reta r e onde a reta r intercepta o plano π . Como a reta r passa pelos pontos A e B, podemos escrever sua equação como:

r : ( 1,0 , 0 ) + λ ( - 1 , - 1 , - 1 )

Quando λ = 0 , estamos no ponto A e quando λ = 1 , estamos no ponto B. Agora, para descobrir onde essa reta intercepta o plano, precisamos descobrir quando as coordenadas (x,y,z) de seus pontos se igualam às coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Então, fazemos:

r :   ( x , y , z ) = ( - λ + 1 ,   - λ , - λ )

Substituindo na equação do plano, obtemos:

- λ + 1 - λ + λ = 3       ⇒   λ = - 2

Portanto, a reta intercepta o plano no ponto P = (3,2,2). Agora que temos o ponto P de interseção entre o plano e a reta, tudo que precisamos fazer é escolher um ponto P’ sobre a reta para calcular o vetor deslocamento de P até P’ e projetá-lo sobre o vetor ortogonal ao plano. Vamos escolher o ponto A sobre a reta. O vetor deslocamento d do ponto P até o ponto A é dado por

d = A - P = ( 1,0 , 0 ) - ( 3,2 , 2 ) = ( - 2 , - 2 , - 2 )

Além disso, como a equação do plano é dada por x + y - z = 3 , vemos que esse plano é paralelo ao plano com equação x + y - z = 0 , apenas deslocado de um fator -3. Então temos que o vetor v ortogonal ao plano é simplesmente dado por

v = ( - 1 , - 1,1 )

Normalizando o vetor v, temos

v = 1 3 ( - 1 , - 1,1 )

Assim, a projeção de d ao longo de v é dada por

d ⋅ v = - 2 ⋅ - 1 3 - 2 ⋅ - 1 3 + - 2 ⋅ 1 3 = 2 3

Agora que a gente sabe a projeção de um ponto da reta sobre o plano, podemos calcular o ponto simétrico, pertencente a reta t. Então, vamos lá!

Passo 2

Com posse da projeção de d no vetor ortogonal ao plano, podemos escolher o ponto A sobre a reta e subtrair a projeção do vetor d sobre o vetor ortogonal, e assim iremos parar em um ponto do plano. Subtraindo mais uma vez a projeção ortogonal, iremos parar fora do plano, mas sobre um ponto simétrico! Então, fazemos:

A - ( d ⋅ v ) v - ( d ⋅ v ) v = A - 2 ( d ⋅ v ) v = ( 1,0 , 0 ) - 4 3 ( - 1 , - 1,1 ) = 7 3 , 4 3 , - 4 3

Então, a reta t simétrica a reta r passa pelos pontos (3,2,2) e 7 3 , 4 3 , - 4 3 .

Então, sabendo dois pontos sobre a reta t, podemos achar sua equação paramétrica. Então bora lá!

Passo 3

Como a reta t passa pelos pontos (3,2,2) e 7 3 , 4 3 , - 4 3 , podemos parametrizá-la da seguinte forma:

t :   7 + s 3 ,   4 + s 3 ,   - 4 + 5 s 3 = 7 3 , 4 3 , - 4 3 + s 1 3 ,   1 3 ,   5 3

Assim, quando o parâmetro s = 0, estamos sobre o ponto com coordenadas 7 3 , 4 3 , - 4 3 e quando s = 2, estamos sobre o ponto (3,2,2). Portanto, essa é uma equação paramétrica da reta t simétrica a reta r.

Resposta

r : ( 1,0 , 0 ) + λ ( - 1 , - 1 , - 1 )

t : 7 3 , 4 3 , - 4 3 + s 1 3 ,   1 3 ,   5 3