Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

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Enunciado

Determine os pontos da reta r   :   X   =   ( 0 ,   1 ,   1 ) + λ ( 1 ,   1 ,   2 ) ,   λ   ∈   R , que equidistam dos planos π 1   :   x   +   2 y   -   z   -   3   =   0   e   π 2   :   x   -   y   +   2 z   =   1 .

Passo 1

Yuri aqui, e agora eu e voce iremos resolver essa querida questão. Aqui eles nos pedem para encontrarmos os pontos da reta que possuem a mesma distancia aos dois planos dados.

Então, se temos um ponto R que pertence a reta r, então

d R , π 1 = d R , π 2

Passo 2

Então precisamos achar esse ponto genérico R da reta,

R = λ ,   1 + λ ,   1 + 2 λ

Sabendo de R e sabendo que para π 1   : a , b , c , d = 1,2 , - 1 , - 3 e para π 2   : a , b , c , d = ( 4 ,   - 3 ,   - 2 ,   3 ) .

Podemos utilizar da formula

d P , π = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2

d R , π 1 = | 1 λ + 2 1 + λ - 1 + 2 λ - 3 | 1 + 4 + 1 = | λ + 2 + 2 λ - 1 - 2 λ - 3 | 6 = | λ - 2 | 6

d R , π 2 = | 4 λ - 3 1 + λ - 2 1 + 2 λ + 3 | 1 + 4 + 1 = | 4 λ - 3 - 3 λ - 2 - 4 λ + 3 | 6 = | - 3 λ - 2 | 6

Passo 3

Igualando ambas

λ - 2 6 = - 3 λ - 2 6

λ - 2 2 = - 3 λ - 2 2

λ = - 2 ,   λ = 0

Agora que sabemos os valores de λ nos resta apenas substituir em R

R = 0 ,   1 ,   1

R = - 2 , - 1 , - 3

Resposta

R = 0 ,   1 ,   1

R = - 2 , - 1 , - 3