Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

George B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 208 - 61

Determine se as retas tomadas duas a duas são paralelas, se cruzam ou são reversas. No caso de se cruzarem, encontre o ponto de interseção.

L 1 : x = 3 + 2 t ,     y = - 1 + 4 t ,     z = 2 - t - ∞ < t < ∞ L 2 : x = 1 + 4 s ,     y = 1 + 2 s ,     z = - 3 + 4 s - ∞ < s < ∞ L 3 : x = 3 + 2 r ,     y = 2 + r ,     z = - 2 + 2 r - ∞ < r < ∞  

Passo 1

Temos de analisar as retas duas a duas, então vamos começar com as retas L 1 e L 2 . Os vetores diretores são:

v 1 → = 2,4 , - 1 e v 2 → = 4,2 , 4

Vamos verificar se esses vetores são paralelos. Para isso, é necessário que 2,4 , - 1 = c 4,2 , 4 . Temos:

2 = 4 c 4 = 2 c - 1 = 4 c

Precisamos de um valor para c que satisfaça as 3 equações acima simultaneamente. Portanto, vamos resolve-las. Caso as 3 equações forneçam o mesmo valor para c , os vetores são paralelos, caso contrário, os vetores não são paralelos,

Da primeira equação temos:

2 = 4 c

c = 1 2

Da segunda equação temos:

4 = 2 c

c = 2

Da terceira equação temos:

- 1 = 4 c

c = - 1 4

Como os valores para c não são os mesmos, concluímos que os vetores não são paralelos.

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Passo 2

Vamos verificar agora se retas L 1 e L 2 possuem um ponto de interseção.

Igualando as coordenadas:

3 + 2 t = 1 + 4 s i - 1 + 4 t = 1 + 2 s i i 2 - t = - 3 + 4 s i i i

Da equação ( i ) temos:

t = - 1 + 2 s

Substituindo o valor de t na equação ( i i ) :

- 1 + 4 - 1 + 2 s = 1 + 2 s →

s = 1 e t = - 1 + 2 ( 1 ) = 1

Agora, vamos verificar se as equações i ,   i i e ( i i i ) são satisfeitas com os valores de s e t encontrados:

Da equação ( i ) :

3 + 2 1 = 1 + 4 1 = 5 ok!!!

Da equação i i :

- 1 + 4 1 = 1 + 2 1 = 3 ok!!!

Da equação i i i :

2 - 1 = - 3 + 4 1 = 1   ok!!!

Portanto as retas L 1 e L 2 são concorrentes e se encontram no ponto ( 5,3 , 1 )

Passo 3

Vamos fazer a mesma análise que fizemos nos passos anteriores, só que dessa vez para as retas L 1 e L 3 .

v 1 → = 1,4 , - 1   ,   v 3 → = ( 2,1 , 2 )

Vamos verificar se os vetores são paralelos, ou seja, se v 1 → = v 3 → c

1 = 2 c 4 = 1 c - 1 = 2 c

Da primeira equação temos:

1 = 2 c

c = 1 2

Da segunda equação temos:

4 = 1 c

c = 4

Da terceira equação temos:

- 1 = 2 c

c = - 1 2

Como os valores para c não são os mesmos, concluímos que os vetores não são paralelos.

Passo 4

Vamos verificar agora se retas L 1 e L 3 possuem um ponto de interseção.

Igualando as coordenadas:

3 + 2 t = 3 + 2 r   ( i v ) - 1 + 4 t = 2 + r   ( v ) 2 - t = - 2 + 2 r   ( v i )

Da equação ( i v ) temos:

t = r

Substituindo o valor de t na equação ( v ) :

- 1 + 4 r = 2 + r

r = 1     t = 1

Agora, vamos verificar se as equações i v ,   v e ( v i ) são satisfeitas:

Da equação ( i v ) :

3 + 2 1 = 3 + 2 = 5 ok!!!

Da equação v :

- 1 + 4 1 = 1 + 2 1 = 3 ok!!!

Da equação ( v i ) :

2 - 1 ≠ - 2 + 2  

Portanto, não há ponto de interseção e as retas L 1 e L 2   são reversas.

Passo 5

Finalmente vamos analisar as retas L 2 e L 3 :

v 2 → = 4,2 , 4

v 3 → = 2,1 , 2

Vamos verificar se os vetores são paralelos:

4,2 , 4 = 2,1 , 2 c

4 = 2 c 2 = 1 c 4 = 2 c

Da primeira equação temos:

4 = 2 c

c = 2

Da segunda equação temos:

2 = 1 c

c = 2

Da terceira equação temos:

4 = 2 c

c = 2

Como os valores para c são os mesmos, concluímos que os vetores são paralelos e as retas L 2 e L 3 são paralelas.

Resposta

As retas L 1 e L 2 são concorrentes e se interceptam em (5,3,1)

As retas L 1 e L 3 são reversas.

As retas L 2 e L 3 são paralelas.

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