Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2013.2, Questão ME1

A equação do plano que contém as 2 retas parametrizadas por

r 1 t = 1 + t ,   t ,   - 1 + t ,         r 2 t = 1 - t ,   2 t ,   - 1 + t ,

com t R , é:

(a) x + y + z = 0

(b) - x - 2 y + 3 z = - 4

(c) - x + 2 y + z = 0

(d) - x - 2 y + 3 z = 0

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

A equação de um plano que passa pelo ponto P 0 e tem vetor normal n é dada por:

x , y , z n = P 0 n

Então precisamos de um ponto onde o plano passa e de um vetor normal do plano!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Eles nos deu parametrizações de duas retas.

A parametrização de uma reta é da forma

r t = P 0 + u t

onde P 0 é um ponto da reta e u um vetor na direção da reta.

Repare que

r 1 t = 1,0 , - 1 + 1,1 , 1 t     e     r 2 t = 1,0 , - 1 + - 1,2 , 1 t

Ou seja, as 2 retas se cruzam no ponto ( 1,0 , - 1 ) e depois uma parte na direção do vetor ( 1,1 , 1 ) e a outra na direção do vetor ( - 1,2 , 1 ) .

Então já achamos um ponto do plano: o ponto ( 1,0 , - 1 ) !

Passo 3

Além do mais, isso que descobrimos é ótimo pra achar o vetor normal do plano!

Esse vetor n é normal ao plano, então ele é normal às duas retas. Ou seja, ele é normal aos vetores diretores dessas retas ( 1,1 , 1 ) e ( - 1,2 , 1 ) !

E se 2 vetores são ortogonais, o produto escalar deles dá zero! Digamos que n = ( a , b , c ) .

Logo,

a , b , c 1,1 , 1 = 0 a + b + c = 0 1 a , b , c - 1,2 , 1 = 0 - a + 2 b + c = 0 2

Pela equação ( 2 ) , temos:

a = 2 b + c

Substituindo na ( 1 ) :

2 b + c + b + c = 0

3 b = - 2 c

b = - 2 3 c

Ou seja:

a = - 4 3 c + c = - 1 3 c

n = a , b , c = - 1 3 c ,   - 2 3 c ,   c = - 1 3 , - 2 3 , 1 c ,     c R

Então qualquer vetor múltiplo do vetor - 1 3 , - 2 3 , 1 é normal ao plano! Isso significa que podemos escolher qualquer valor pra constante c que esse vetor aí vai ser normal ao plano.

Passo 4

Show! Vamos aplicar a equação do plano

x , y , z n = P 0 n

usando P 0 = ( 1,0 , - 1 ) e escolhendo c = 3 para tirar essas frações do vetor normal, ficamos com

n = 3 - 1 3 , - 2 3 , 1 = ( - 1 , - 2 ,   3 )

Assim, a equação do plano é:

x , y , z - 1 , - 2 ,   3 = 1,0 , - 1 ( - 1 , - 2 ,   3 )

  - x - 2 y + 3 z = - 1 - 3 = - 4

Resposta

Alternativa (b)

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