Exercícios Resolvidos de Equação da Reta e Segmento de Reta

UERJ - Análise Vetorial - Lista Joice - 1e

Obtenha uma parametrização para o segmento de reta que liga os pontos A - 1,0 , 2 e B 2,3 , 3 .

Passo 1

Para encontrar a equação do segmento de reta que liga os pontos A e B , precisamos:

  • Encontrar a equação paramétrica da reta que passa por esses dois pontos
  • Restringir o parâmetro t , para encontrar a equação do segmento de reta que tem como ponto inicial A   ( P i = A ) e ponto final B   ( P f = B ) .

Calma. Vamos fazer passa a passo, bem explicadinho pra você entender.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para encontrar a equação paramétrica de uma reta precisamos de um ponto P 0 no qual a reta passa, e um vetor diretor v paralelo a reta.

Vamos adotar o ponto A como sendo P 0 . Então temos:

P 0 = A = ( - 1,0 , 2 )

Passo 3

Agora, falta encontrar o vetor diretor v , que é paralelo a reta. O problema não fornece diretamente esse vetor.

Porém, repare que podemos usar o vetor A B , como sendo o vetor diretor v pois A e B são pontos da reta.Logo, o vetor A B é paralelo a reta. Então temos:

v = A B = 2,3 , 3 - - 1,0 , 2 = ( 3,3 , 1 )

Passo 4

Portanto, a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B é:

r ( t ) = P 0 + v t

r ( t ) = - 1,0 , 2 + ( 3,3 , 1 ) t

r ( t ) = - 1 + 3 t , 3 t , 2 + t

t   R

Passo 5

Já encontramos a equação da reta, mas o problema pede a equação do segmento de reta que passa por A e B . Então, vamos encontrar os valores de t para os quais P i = A e P f = B .

Temos o seguinte:

P i = r t 1 = A

r t 1 = - 1 + 3 t 1 , 3 t 1 , 2 + t 1 = ( - 1,0 , 2 )

Logo, surgem as seguintes equações:

- 1 + 3 t 1 = - 1 3 t 1 = 0 2 + t 1 = 2

Podemos usar qualquer uma das equações para encontrar o valor de t 1 . Usando a segunda temos:

3 t 1 = 0

t 1 = 0

Agora, só falta encontrar t 2 :

P f = r t 2 = B

r t 2 = - 1 + 3 t 2 , 3 t 2 , 2 + t 2 = ( 2,3 , 3 )

As equações ficam:

- 1 + 3 t 2 = 2 3 t 2 = 3 2 + t 2 = 3

Da segunda equação:

3 t 2 = 3

t 2 = 1

Passo 6

Agora, é só montar a equação do segmento de reta, que é:

r ( t ) = - 1 + 3 t , 3 t , 2 + t

t   0,1

Resposta

A equação do segmento de reta é:

r ( t ) = - 1 + 3 t , 3 t , 2 + t

t   0,1

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