Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Avalie a integral:

∫ 2 5 1 x - 3 2 d x

Passo 1

Procurar por descontinuidades

Essa integral parece tranquila né? Só integrar e aplicar os limites e ir pro abraço! Infelizmente, não é só isso. Dá uma olhada:

2 < 3 < 5

S e   x = 3   ;   1 3 - 3 2 = 1 0

Portanto nossos limites de integração estão exatamente “abraçando” um ponto de descontinuidade. Quando isso acontece, é possível que a nossa integral não venha a convergir. Puts, nesse caso então, vamos ter que trabalhar com limites e integrais, não é? É sim! Vamos reescrever então:

∫ 2 5 1 x - 3 2 d x = lim a → 3 - ⁡ ∫ 2 a 1 x - 3 2 d x +   lim b → 3 + ⁡ ∫ b 5 1 x - 3 2 d x

Passo 2

Resolver a integral

Vamos então sumir com a integral pra podermos trabalhar só com limites beleza? Sendo assim, vamos calcular:

∫ 1 x - 3 2 d x

Fazendo a substituição simples:

u = x - 3

d u = d x

Vamos ficar com:

∫ u - 2 d u = u - 1 - 1 =   - 1 u

Voltando a variável original

∫ 1 x - 3 2 d x =   - 1 x - 3 = 1 3 - x

Passo 3

Aplicando os limites de integração

Beleeeza, resolvemos a integral. Vamos então aplicar os limites de integração pra depois finalmente poder resolver os limites a → 3 - e b → 3 + . Partiu:

∫ 2 a 1 x - 3 2 d x =   1 3 - x x = 2 x = a =   1 3 - a - 1 3 - 2 = 1 3 - a - 1

∫ b 5 1 x - 3 2 d x =   1 3 - x x = b x = 5 = 1 3 - 5 - 1 3 - b =     1 b - 3 - 1 2

Passo 4

Aplicando os limites a → 3 - e b → 3 +

Resumindo tudo que pescamos até agora, temos:

∫ 2 5 1 x - 3 2 d x = lim a → 3 - ⁡ ∫ 2 a 1 x - 3 2 d x +   lim b → 3 + ⁡ ∫ b 5 1 x - 3 2 d x

∫ 2 a 1 x - 3 2 d x = 1 3 - a - 1

∫ b 5 1 x - 3 2 d x =     1 b - 3 - 1 2

Show de bola, só juntar tudo agora. Nossa integral vai ficar:

∫ 2 5 1 x - 3 2 d x = lim a → 3 - ⁡ 1 3 - a - 1 +   lim b → 3 + ⁡ 1 b - 3 - 1 2

∫ 2 5 1 x - 3 2 d x = lim a → 3 - ⁡ 1 3 - a +   lim b → 3 + ⁡ 1 b - 3 - 3 2

E aqui morre o problema porque

lim a → 3 - ⁡ 1 3 - a   ;   lim b → 3 + ⁡ 1 b - 3

São limites que não convergem por causa da descontinuidade! Sendo assim:

∫ 2 5 1 x - 3 2 d x → N ã o   c o n v e r g e

Graficamente, é como se fossemos calcular a área dessa região que tem altura infinita. Ia ser complicado, não?

Resposta

∫ 2 5 1 x - 3 2 d x → N ã o   c o n v e r g e

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