Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

UNICAMP - Cálculo 1 - P3 2008.1 b - 4 b

Determine se as integrais abaixo são divergentes ou convergentes e calcule o valor daquelas que forem convergentes:

b   ∫ 1 e d x x ln ⁡ x 3

Passo 1

Bom, aparentemente, temos uma integral definida para calcular. Você tem que ficar atento e ver se a função não tem uma descontinuidade infinita, porque, se tiver, então ela é imprópria e não pode ser calculada diretamente como uma integral definida.

Nesse problema mais especificamente, o enunciado já te dá a dica, porque ele não pede para você calcular a integral. Ele pede para você dizer se ela é convergente ou divergente. Então fica meio que na cara que essa integral aí é imprópria.

Observa que o x não pode ser 1 , senão ln ⁡ x = 0 e vai dar ruim. Claro que x também não poderia ser 0 . Mas se você observar, o intervalo de integração vai de 1 a e , ou seja, 0 não está dentro desse intervalo. Isso significa que você não precisa se preocupar com ele. Lembre-se que você tem que se preocupar com descontinuidades em pontos dentro do intervalo de integração, beleza?

Vamos calcular o limite da função quando x → 1 para garantir que a descontinuidade que ela tem nesse ponto é infinita?

lim x → 1 ⁡ 1 x ln ⁡ x 3 = - ∞

Ok. Tenho uma descontinuidade infinita em x = 1 . Então trata-se de um caso de integral imprópria com integrando descontínuo.

Nesse caso, a descontinuidade está em x = 1 , que é a extremidade do intervalo [ 1 , e ] .

- ''
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Passo 2

No caso em que a descontinuidade está no limite inferior de integração, substituímos esse limite por r e calculamos o limite quando r tende a esse valor pela direita:

∫ 1 e d x x ln ⁡ x 3 d x = lim r → 1 + ⁡ ∫ r e d x x ln ⁡ x 3 d x

Para resolver, achamos a integral indefinida e depois substituímos os limites de integração pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ d x x ln ⁡ x 3 d x

Para calcular essa integral indefinida, basta você lembrar que trata-se daqueles casos classiquinhos de substituição simples, em que eu tenho um ln ⁡ x   ali e um 1 x , que é derivada dele. Então aquele ln ⁡ x ali está pedindo para ser chamado de u , não é?

u = ln ⁡ x →   d u = 1 x   d x  

Substituindo na expressão, vamos ter:

∫ d u u 3 =   ∫ u - 1 3 d u = u - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 + C

3 2 u 2 3 + C

Voltando para x :

∫ d x x ln ⁡ x 3 = 3 2 ( l n   x ) 2 3 + C

- ''

Passo 3

Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ r e d x x ln ⁡ x 3 =   3 2 ( l n   e ) 2 3 -   3 2 ( l n   r ) 2 3

Voltando ao limite da integral imprópria:

lim r → 1 + ⁡ ∫ r e d x x ln ⁡ x 3 = l i m r → 1 + 3 2 ( l n   e ) 2 3 -     3 2 ( l n   r ) 2 3

= 3 2

Logo, o limite existe e a integral é convergente!

∫ 1 e d x x ln ⁡ x 3 = 3 2

Resposta

∫ 1 e d x x ln ⁡ x 3 = 3 2   ,       c o n v e r g e n t e

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