Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

Ver Teoria

Enunciado

Seja p > 0 . Considere as seguintes integrais:

i   ∫ 0 π cos 2 ⁡ x + 1 x 3   d x

i i   ∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 7 p + 1   d x

É correto afirmar que:

a) A integral em (i) converge e a convergência da integral em (ii) depende do valor de p .

b) Ambas as integrais divergem.

c) Apenas a integral em (ii) converge.

d) Ambas as integrais convergem.

e) Apenas a integral em (i) converge.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse problema temos que avaliar duas integrais impróprias. Vamos olhar inicialmente para a integral (i):

∫ 0 π cos 2 ⁡ x + 1 x 3   d x

Vamos usar o teste da comparação! Primeiro escrevemos

cos 2 ⁡ x ≥ 0 → 1 + cos 2 ⁡ x ≥ 1

Assim,

cos 2 ⁡ x + 1 x 3 ≥ 1 x 3

Com isso, vamos olhar para a seguinte integral:

∫ 0 π 1 x 3 d x = lim t → 0 + ⁡ ∫ t π 1 x 3 d x

A integral dentro do limite é fácil de ser calculada:

∫ t π 1 x 3 d x = - 1 2 x 2 t π = 1 2 t 2 - 1 2 π 2

Logo,

∫ 0 π 1 x 3 d x = lim t → 0 + ⁡ 1 2 t 2 - 1 2 π 2 = + ∞

Como o limite explode para + ∞ , vemos que essa integral diverge.

Passo 2

Mas pera aí, não essa integral que queremos avaliar. Queremos avaliar

∫ 0 π cos 2 ⁡ x + 1 x 3   d x

Aqui que vai entrar o teste da comparação: se f x > g x e a integral imprópria de g diverge, então a integral de f também diverge. Nesse caso, vimos que

cos 2 ⁡ x + 1 x 3 ≥ 1 x 3

Desta forma, como a integral de 1 / x 3 diverge, a integral em (i) também vai divergir!

Passo 3

Agora vamos olhar para a segunda integral imprópria do problema:

∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 7 p + 1   d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 x   ln ⁡ x 7 p + 1   d x

Para fazer a integral dentro do limite, escrevemos

ln ⁡ x 7 = 7 ln ⁡ x

Assim,

∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 7 p + 1   d x = 1 7 p + 1 lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 x   ln ⁡ x p + 1   d x

Agora, fazemos uma mudança de variável u = ln ⁡ x , com

d u = d x x

Além disso, quando x = e , temos u = 1 . Já para t → ∞ , v = ln ⁡ t → ∞ . Desta forma, podemos escrever

∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 7 p + 1   d x = 1 7 p + 1 lim v → ∞ ⁡ ∫ 1 v 1 u p + 1   d u

Como p > 0 , segue que p + 1 > 1 , de modo que essa integral pode ser calculada facilmente:

∫ 1 v 1 u p + 1   d u = ∫ 1 v u - p + 1   d u = - 1 p u p 1 v = 1 p 1 - 1 v p

Logo,

∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 7 p + 1   d x = 1 p ⋅ 7 p + 1 lim v → ∞ ⁡ 1 - 1 v p

Sabemos que para p > 0 :

lim v → ∞ ⁡ 1 v p = 0

Assim,

∫ e ∞ 1 x   ln ⁡ x 7 p + 1   d x = 1 p ⋅ 7 p + 1

Desta forma, vemos que a integral (ii) converge para qualquer valor de p > 0 . Com isso, a alternativa correta é a C 😉.

Resposta

Alternativa C.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 1 1 - x 2d x
Investigar as integrais impróprias.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 3 x 5d x
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x
Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])