Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Utilize o critério da comparação para decidir se cada integral converge ou diverge.

a)

∫ 2 + ∞ 1 ln ⁡ x d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma integral imprópria e nos pede para dizer se ela converge ou diverge através do critério da comparação.

Mas que critério é esse??

Bom... o critério da comparação trata-se de compararmos a função f ( x ) que está sendo integrada com uma função maior ou outra menor.

Mas qual o sentido disso??Exemplo 1: Se compararmos com uma maior e esta for convergente, então automaticamente a função f ( x ) também é convergente.

Exemplo 2: Se compararmos com uma menor e esta for divergente, então automaticamente a função f ( x ) também é divergente.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, seja:

f x = 1 ln ⁡ x

E

g x = 1 x ln ⁡ x

Fazendo a integração de g ( x ) , temos:

∫ 2 + ∞ 1 x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x

Fazendo u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x d x , temos:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 u d u ∴

= lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x a 2 ∴

= d i v e r g e

Passo 3

Portanto, por comparação, percebe-se que g x < f x .

Assim, como g x diverge, então f x também diverge.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d i v e r g e

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