Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

Ver Teoria

Enunciado

Avalie a convergência da integral impropria:

∫ 1 3 1 2 - x 4 / 3   d x

Passo 1

Fala aí turminha da UNICAMP, tudo bem? Vamos pra cima dessa questão! Primeira coisa que a gente tem que entender pra resolver ela é sobre a função que a gente tá integrando. Ela é descontínua em x = 2 . Por isso que ela é imprória: dentro do intervalo dos limites de integração, a função apresenta descontinuidade. Vamos analisar as integrais bem em cima da descontinuidade com essas duas novas integrais:

∫ 1 2 1 2 - x 4 / 3   d x e ∫ 2 3 1 2 - x 4 / 3   d x

Vamos começar analisando a primeira.

Passo 2

Bora lá! Olha o que a definição de integral impropria diz:

∫ a b f ( x ) d x

Tal que a representa um ponto de descontinuidade. Temos então:

∫ a b f ( x ) d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ a b f ( x ) d x

Aplicando pra nossa questão:

∫ 1 2 1 2 - x 4 / 3 = lim a → 2 - ⁡ ∫ 1 a 1 2 - x 4 / 3 d x

Para todo 1 < b < 2 , fazendo a substituição u = 2 - x obtemos que d u = - 1 d x . Logo:

∫ 1 a 1 2 - x 4 / 3 = ∫ 1 2 - a 1 u 4 3 - 1 d u

∫ 1 2 - a 1 u 4 3 - 1 d u = ∫ 2 - a 1 u - 4 / 3 d u

= ∫ 2 - a 1 u - 4 / 3 d u = u - 4 3 + 1 - 4 3 + 1 = - 3 + 3 2 - b 3

Passo 3

Agora vamos aplicar o limite:

l i m a → 2 - - 3 + 3 2 - b 3

Aplicando:

l i m a → 2 - - 3 + 3 2 - b 3 = + ∞

Logo, a integral diverge (pois o limite não é um número real definido). E por definição, se a integral que fez metade do caminho na descontinuidade diverge, então a integral principal também diverge! E é isso, folks! Bons estudos e até a próxima!

Resposta

I n t e g r a l   d i v e r g e  

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 1 1 - x 2d x
Investigar as integrais impróprias.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 1 3 x 5d x
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x
Calculeb)int_(- 1)^3 f (x) d x ondef (x) = {[[1 s e - 1 = x0],[x^2 s e 0x2],[0 s e 2 = x = 3]])