Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Sefa f : 0 , ∞ → R uma função contínua e limitada. A Transformada de Laplace de f é a função F : 0 , ∞ → R definida por

F s = ∫ 0 ∞ e - s t f ( t )   d t

  1. Suponha que f ' seja contínua e limitada e denote as transformações de Laplace de f e f ' por F e G , respectivamente. Mostre que G s = s F s - f ( 0 ) .

Passo 1

Falaeee!! Seguinte... seja

G s = ∫ 0 ∞ e - s t ∙ f ' ( t )   d t

Agora, vamos integrar por partes. Lembrando que a integral por partes é dada por:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Em que:

u = e - s t ∴ d u = - s e - s t d t d v = f ' ( t ) d t ∴ v = f ( t )

Passo 2

Assim, temos:

G s = lim r → ∞ ⁡ f t e - s t r 0 + ∫ 0 ∞ f t ∙ s e - s t d t ∴

G s = lim r → ∞ ⁡ f r e - s r - f 0 e - 0 + s ∫ 0 ∞ f t ∙ e - s t d t ∴

G s = lim r → ∞ ⁡ f r e - s r - f 0 + s F ( s )

Por definição, lim r → ∞ ⁡ f r e - s r = 0 , logo:

G s = s F s - f 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

G s = s F s - f 0

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