Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Funções com Descontinuidade

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Enunciado

Nos exercícios 25 a 31 discuta a convergência das integrais impróprias.

30 .   ∫ 2 3 x 2 + 1 x 2 - 4 d x               ( c a l c u l e   a   i n t e g r a l )

Passo 1

Bom, como ele pede para calcularmos a integral, vamos tentar reescrevê-la de uma forma mais bonita ok?

∫ 2 3 x 2 + 1 x 2 - 4 d x = ∫ 2 3 x 2 + 1 x + 2 x - 2 d x

Dá pra ver que não temos muito o que melhorar se deixarmos a fração desse jeito. Por conta disso, vamos usar o método de frações parciais, que vai ser o seguinte: vamos tentar reescrever aquela fração em somas de frações.

O problema chato aqui é que o grau do numerador é igual ao grau do denominador, por isso teremos que fazer a divisão e depois prosseguir com as frações.

x 2 + 1 x 2 - 4 = 1 + 5 x 2 - 4

Passo 2

Beleza, agora que temos o grau do numerador menor que o grau do denominador, podemos fazer as frações parciais.

5 x + 2 x - 2 = A x + 2 + B x - 2

Perceba que temos duas frações porque o grau do nosso denominador é 2 .

A x + 2 + B x - 2 = A x - 2 + B x + 2 x + 2 x - 2 = x A + B + 2 B - A x + 2 x - 2

Então temos que:

x A + B + 2 ( B - A ) x + 2 x - 2 = 5 ( x + 2 ) ( x - 2 )

Agora vamos igualar os termos que acompanham x e os termos independentes.

A + B = 0 2 B - A = 5

B = 5 4     e     A = - 5 4

Passo 3

Agora vamos reescrever nossa fração:

x 2 + 1 x 2 - 4 = 1 + 5 4 x - 2 - 5 4 x + 2

Passo 4

Resolvendo nossa integral:

∫ 2 3 x 2 + 1 x 2 - 4 d x = ∫ 2 3 1 + 5 4 x - 2 - 5 4 x + 2 d x

∫ 2 3 1 + 5 4 x - 2 - 5 4 x + 2 d x = x + 5 4 ln ⁡ x - 2 - 5 4 ln ⁡ x + 2 2 3 = ∞

É pois lim x → 0 ⁡ - l n x = ∞ .

Resposta

30 . divergente, pois ∫ 2 3 x 2 + 1 x 2 - 4 d x = ∫ 2 3 1 + 5 4 x - 2 - 5 4 x + 2 d x = ∞

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